![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Обработка результатов измерений. Прямые многократные измерения
- •2. Проверка гипотезы о распределении размеров в выборке
- •3. Проверка гипотезы о равномерном распределении по критерию
- •4. Оценка результатов при малом числе измерений и неизвестном
- •5. Проверка гипотезы о независимости последовательности результатов измерений
- •6. Обработка результатов косвенных измерений
- •Приложение Статистические таблицы
2. Проверка гипотезы о распределении размеров в выборке
В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели (гипотезе) закона распределения используется критерий согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенный разными авторами.
Наибольшее
распространение в практике получил
критерий Пирсона. Идея этого метода
состоит в контроле отклонений гистограммы
экспериментальных данных от гистограммы
с таким же числом интервалов, построенной
на основе распределения, совпадение
с которым определяется. Использование
критерия Пирсона возможно при большом
числе измерений
и заключается в вычислении величины
(хи-квадрат):
,
(8)
где
и
– экспериментальные и теоретические
значения частот в
-м
интервале рассеяния.
Вероятность
попадания непрерывной случайной
величины в интервал
вычисляется в общем виде из соотношения
,
Где
– функция распределения вероятностей
или интегральная функция распределения.
При
случайная величина
имеет распределение Пирсона с числом
степеней свободы
,
где
– число определяемых по статистике
параметров, необходимых для совмещения
модели и гистограммы. Для нормального
закона распределения
,
так как закон однозначно характеризуется
указанием двух его параметров
математического ожидания и СКО.
Таким
образом, вычисленную для данной выборки
величину
сравнивают с критической точкой,
взятой из таблиц теоретического
распределения
,
по заданному уровню значимости а и
числу степеней свободы
.
Если
,
отклонения теоретического и
эмпирического закона распределения
считается незначительным, т.е. проверяемая
статистическая гипотеза верна. В
противном случае гипотеза отвергается.
Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:
определяют оценки среднего арифметического значения и СКО
по формулам (4) и (5);
группируют результаты многократных наблюдений по интервалам (разрядам) длиной
, число которых определяют так же, как и при построении гистограммы;
для каждого разряда разбиения определяют его центр
и подсчитывают число наблюдений , попавших в каждый из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов переходят к нормированным серединам
.
(9)
Затем
для каждого значения
с помощью аналитической модели находят
значение функции плотности вероятностей
.
Например, для нормального закона
,
или по таблицам дифференциальной функции нормального распределения (табл. П1 приложения).
По найденному значению определяют ту часть имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов:
, (11)
где – общее число наблюдений.
Если
в какой-либо интервал теоретически
попадает меньше пяти наблюдений, то в
обеих гистограммах его соединяют с
соседним интервалом. После этого
определяют число степеней свободы
,
где
– общее число интервалов,
– число укрупненных интервалов.
По формуле (8) определяют показатель разности частот ;
Выбирают
уровень значимости критерия
.
Он должен быть небольшим, чтобы была
мала вероятность совершить ошибку
первого рода. По уровню значимости и
числу степеней свободы
по табл. П2 приложения находят границу
критической области
такую, что
.
Вероятность того, что полученное
значение
перевешивает
,
равна а и мала. Поэтому, если оказывается,
что
,
то гипотеза о совпадении
экспериментального и теоретического
законов распределения отвергается.
Если же
то гипотеза принимается.
Чем
меньше
,
тем большее значение
. тем легче выполняется условие
и проверяемая гипотеза принимается.
Но при этом увеличивается вероятность
ошибки второго рода. В связи с этим
нецелесообразно принимать
.
Иногда
вместо проверки с односторонней
критической областью принимают проверки
с двусторонними критическими областями.
При этом оценивают вероятность
.
Уровень значимости критерия
делится на две части
.
Как правило, принимают
;
и
.
Гипотеза о совпадении распределений
принимается, если
Пример
2.
По данным примера 1 проверить гипотезу
о законе распределения случайной
величины
,
используя критерий
,
на уровне значимости
,
результаты измерений которой
представлены выборкой объемом
;
;
;
.
Решение. По виду гистограммы (рис. 1) выдвигаем гипотезу о нормальном распределении. Для вычислений целесообразно все данные свести в табл. 4.
Пояснения к табл. 4:
При вычислении аргумента дифференциальной функции нормированного распределения
использованы данные предыдущих расчетов (пример 1). Значения функции
находятся по табл. П. 1 приложения и заносятся в колонку 6 (табл. 4).
В колонке 7 вычисляется плотность вероятности физической величины в единицах этой величины.
При вычислении критерия частоты меньше 5 эмпирического и теоретического распределений суммируются с соседними интервалами (колонки 3 и 8).
Для нахождения граничных значений критерия определяем число степеней свободы:
где
– число разрядов,
– число связей, накладываемое законом
распределения,
– число укрепленных интервалов.
При
и уровне значимости
по табл. П. 2 приложения находим граничные
значения критерия
:
;
.
Так
как
и
,
то гипотеза о нормальном распределении
принимается.
Таблица 4
Номер разряда
|
Середина разряда |
Частота |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1,09 |
4 |
-0,23 |
-2,11 |
0,0431 |
0,3954 |
3,16 |
|
2 |
1,17 |
12 |
-0,15 |
-1,38 |
0,1539 |
1,4120 |
11,30 |
0,164 |
3 |
1,25 |
20 |
-0,07 |
-0,64 |
0,3251 |
2,9826 |
23,96 |
0,624 |
4 |
1,33 |
36 |
0,01 |
0,09 |
0,3973 |
3,6450 |
29,16 |
1,604 |
5 |
1,41 |
16 |
0,09 |
0,82 |
0,2850 |
2,6147 |
20,92 |
1,087 |
6 |
1,49 |
8 |
0,17 |
1,56 |
1,0844 |
1,0844 |
8,68 |
0,046 |
7 |
1,56 |
4 |
0,24 |
2,20 |
0,3255 |
0,3257 |
2,60 |
|
|
- |
100 |
- |
- |
- |
- |
- |
3,525 |