- •Кафедра автоматизированного электропривода и промышленной электроники
- •Новокузнецк
- •Введение
- •Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев сау
- •1.1 Задание к разделу 1
- •Линеаризация нелинейных статических характеристик и нелинейных уравнений
- •2.1 Задания к разделу 2
- •Составление и преобразования структурных схем сау
- •Составление структурных схем
- •Преобразование Структурных схем (Алгебра блочных схем)
- •3.3 Задания к разделу 3
- •4 Библиографический список
- •Оглавление
- •654007, Г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42
1.1 Задание к разделу 1
Задание 1.1. Найти дифференциальные уравнения и передаточные функции для представленных на рисунке 4(а-к) схемах.
а) б) в)
г) д)
е) ж)
з) и)
к)
Рисунок 4. Схемы для выполнения задания
Линеаризация нелинейных статических характеристик и нелинейных уравнений
Математическое описание динамики САУ обычно производится путем составления системы дифференциальных уравнений. В общем случае любая реальная динамическая система является нелинейной. Однако большинство непрерывных систем управления могут быть линеаризованы, т.е. заменены приближенно эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Линеаризацией называется замена реальных нелинейных уравнений близкими к ним линейными уравнениями. Линеаризация исходных нелинейных зависимостей основана на методе малых отклонений, сущность которого заключена в том, что динамические свойства звеньев и систем исследуется не во всем диапазоне изменения переменных, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы (например: установившемся режимам). Основой линеаризации является выдвинутое И.А. Вышнеградским предположение, что в течение всего процесса регулирования имеют место лишь достаточно малые отклонения всех измеряющихся параметров от их установившихся значений.
Линеаризация возможна, если:
отклонение переменных малы;
линеаризуемая функция аналитична, т.е. имеет конечные производные всех порядков в окрестности точки линеаризации.
Пусть задано нелинейное дифференциальное уравнение звена САУ: . (35)
Уравнение для установившегося режима :
. (36)
Исходное нелинейное уравнение в отклонениях имеет вид:
. (37)
Разложив левую часть уравнения в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима , получим:
, (38)
где - частные производные в точки установившегося режима;
- члены высшего порядка малости, состоящий из произведения отклонений, степеней отклонений с коэффициентами в виде смешанных частных производных и производных второго и высших порядков от F по соответствующим аргументам.
Отбросив нелинейный остаток , получим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которые являются результатом линеаризации исходного дифференциального уравнения.
При стандартной форме записи уравнений в ТАУ принято оставлять в левой части выходную величину и её производные, входная величина, её производные и другие величины (возмущения) переносятся в правую часть уравнения:
, (39)
где .
Погрешность линеаризации оценивается величиной относительной погрешности:
, (40)
где - исходная нелинейная функция;
- уравнение линеаризованной характеристики.
З аметим, что линеаризация методом касательной (разложением в ряд Тейлора) дает хорошее совпадение вблизи точки установившегося режима и худшее у границ рабочей зоны. Линеаризация по методу секущей (метод осреднения) дает хорошее совпадение «в среднем», хотя наклон секущей не совпадает с наклоном кривой в рабочей точке представленной на рисунке 5.
а) б)
Рисунок 5. Линеаризация нелинейной характеристики методом касательной (а) и методом секущей (б)
Пример 2.1. В окрестности точки установившегося режима аналитически линеаризовать нелинейное уравнение .
Решение. Разложим уравнение в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима:
, (41)
где .
В точке установившегося режима:
;
;
.
Таким образом:
. (42)
Ограничившись линейными членами разложения получим:
. (43)
На рисунке 6. приведена линеаризация рассматриваемой нелинейной функции.
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
Y |
2 |
4.5 |
9.3 |
16.25 |
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
Y |
0.75 |
4.5 |
8.25 |
12 |
Рисунок 6. Линеаризация нелинейного уравнения методом касательной
П ример 2.2. Вывести дифференциальное уравнение движения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором представленного на рисунке 7.
Рисунок 7. Схема включения и механическая характеристика АД с короткозамкнутым ротором
Рабочий механизм с вентиляторной характеристикой:
. (44)
Решение. Основное уравнение движения электропривода:
. (45)
Момент АД:
; . (46)
Для установившегося режима (точка А рисунке 7)
Разлагая характеристики и в окрестности точки установившегося режима в ряд Тейлора, получим:
(47)
. (48)
Ограничившись линейными членами разложения, подставим полученные соотношения в основное уравнение движения:
. (49)
Поскольку в установившемся режиме , то
. (50)
Преобразуем полученное уравнение к виду:
. (51)
Обозначив:
; (52)
, (53)
получим:
. (54)
П ример 2.3. Линеаризовать уравнение статической характеристики множительного устройства, представленного на рисунке 8, относительно точки установившегося режима .
Рисунок 8. Схема нелинейного и линеаризованного множительного устройства.
Решение. Рассматриваются небольшие отклонения переменных и :
; (55)
; (56)
Тогда:
. (57)
Вычтем из полученного уравнения уравнение установившегося режима:
(58)
Пренебрегая малыми высшего порядка, получим:
, (59)
где , .
П
ример 2.4. Линеаризовать неаналитическую статическую характеристику, представленную на рисунке 9, методом осреднения (методом секущей).
Рисунок 9. Метод осреднения нелинейной статической характеристики.