1.1 Задание к разделу 1

Задание 1.1. Найти дифференциальные уравнения и передаточные функции для представленных на рисунке 4(а-к) схемах.

а) б) в)

г) д)

е) ж)

з) и)

к)

Рисунок 4. Схемы для выполнения задания

1. Линеаризация нелинейных статических характеристик и нелинейных уравнений

Математическое описание динамики САУ обычно производится путем составления системы дифференциальных уравнений. В общем случае любая реальная динамическая система является нелинейной. Однако большинство непрерывных систем управления могут быть линеаризованы, т.е. заменены приближенно эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линеаризацией называется замена реальных нелинейных уравнений близкими к ним линейными уравнениями. Линеаризация исходных нелинейных зависимостей основана на методе малых отклонений, сущность которого заключена в том, что динамические свойства звеньев и систем исследуется не во всем диапазоне изменения переменных, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы (например: установившемся режимам). Основой линеаризации является выдвинутое И.А. Вышнеградским предположение, что в течение всего процесса регулирования имеют место лишь достаточно малые отклонения всех измеряющихся параметров от их установившихся значений.

Линеаризация возможна, если:

• отклонение переменных малы;

• линеаризуемая функция аналитична, т.е. имеет конечные производные всех порядков в окрестности точки линеаризации.

Пусть задано нелинейное дифференциальное уравнение звена САУ: . (35)

Уравнение для установившегося режима :

. (36)

Исходное нелинейное уравнение в отклонениях имеет вид:

. (37)

Разложив левую часть уравнения в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима , получим:

, (38)

где - частные производные в точки установившегося режима;

- члены высшего порядка малости, состоящий из произведения отклонений, степеней отклонений с коэффициентами в виде смешанных частных производных и производных второго и высших порядков от F по соответствующим аргументам.

Отбросив нелинейный остаток , получим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которые являются результатом линеаризации исходного дифференциального уравнения.

При стандартной форме записи уравнений в ТАУ принято оставлять в левой части выходную величину и её производные, входная величина, её производные и другие величины (возмущения) переносятся в правую часть уравнения:

, (39)

где .

Погрешность линеаризации оценивается величиной относительной погрешности:

, (40)

где - исходная нелинейная функция;

- уравнение линеаризованной характеристики.

З аметим, что линеаризация методом касательной (разложением в ряд Тейлора) дает хорошее совпадение вблизи точки установившегося режима и худшее у границ рабочей зоны. Линеаризация по методу секущей (метод осреднения) дает хорошее совпадение «в среднем», хотя наклон секущей не совпадает с наклоном кривой в рабочей точке представленной на рисунке 5.

а) б)

Рисунок 5. Линеаризация нелинейной характеристики методом касательной (а) и методом секущей (б)

Пример 2.1. В окрестности точки установившегося режима аналитически линеаризовать нелинейное уравнение .

Решение. Разложим уравнение в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима:

, (41)

где .

В точке установившегося режима:

;

;

.

Таким образом:

. (42)

Ограничившись линейными членами разложения получим:

. (43)

На рисунке 6. приведена линеаризация рассматриваемой нелинейной функции.

X	1	2	3	4
Y	2	4.5	9.3	16.25

X	1	2	3	4
Y	0.75	4.5	8.25	12

Рисунок 6. Линеаризация нелинейного уравнения методом касательной

П ример 2.2. Вывести дифференциальное уравнение движения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором представленного на рисунке 7.

Рисунок 7. Схема включения и механическая характеристика АД с короткозамкнутым ротором

Рабочий механизм с вентиляторной характеристикой:

. (44)

Решение. Основное уравнение движения электропривода:

. (45)

Момент АД:

; . (46)

Для установившегося режима (точка А рисунке 7)

Разлагая характеристики и в окрестности точки установившегося режима в ряд Тейлора, получим:

(47)

. (48)

Ограничившись линейными членами разложения, подставим полученные соотношения в основное уравнение движения:

. (49)

Поскольку в установившемся режиме , то

. (50)

Преобразуем полученное уравнение к виду:

. (51)

Обозначив:

; (52)

, (53)

получим:

. (54)

П ример 2.3. Линеаризовать уравнение статической характеристики множительного устройства, представленного на рисунке 8, относительно точки установившегося режима .

Рисунок 8. Схема нелинейного и линеаризованного множительного устройства.

Решение. Рассматриваются небольшие отклонения переменных и :

; (55)

; (56)

Тогда:

. (57)

Вычтем из полученного уравнения уравнение установившегося режима:

(58)

Пренебрегая малыми высшего порядка, получим:

, (59)

где , .

П

ример 2.4. Линеаризовать неаналитическую статическую характеристику, представленную на рисунке 9, методом осреднения (методом секущей).

Рисунок 9. Метод осреднения нелинейной статической характеристики.