§4.Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число: . Из определения скалярного произведения следует, что: .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) при ;

3) ; 4) , где - число;

Для векторов канонического базиса :

, , , , , .

Для векторов и , заданных координатами: , скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Некоторые приложения скалярного произведения:

1) Вычисление угла между векторами и : .

2) Нахождение проекции вектора на вектор : .

3) Вычисление длины вектора (если известны , , ):

4) Установление перпендикулярности векторов и :

.

5) Вычисление работы постоянной силы при прямолинейном перемещении материальной точки: .

2.53 Найти скалярное произведение коллинеарных и противопо-ложно направленных векторов , если

2.54 Вычислить: а) ; б)

если , , .

2.55 Найти модуль вектора где единичные векторы, угол между которыми равен .

2.56 Определить, при каком значении векторы и будут перпендикулярны, если

2.57 Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны?

2.58 Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах если известно, что .

2.59 Определить угол между векторами и , если известно, что , , .

2.60 Вычислить .

2.61 Даны векторы и . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

2.62 Даны три вектора: Вычислить: а) ; б) .

2.63 Даны векторы: . При каком значении векторы и будут перпендикулярны.

2.64 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

2.65 Даны точки .На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы

2.66 Даны три вектора: Найти вектор , удовлетворяющий одновременно уравнениям: , , .

2.67 Найти координаты вектора , коллинеарного вектору и удовлетворяющего условию .

2.68 Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения в положение

2.69 Даны два вектора: и Найти вектор перпендикулярный , равный ему по длине, компланарный с векторами и образующий с вектором острый угол.

2.70 В треугольнике : . Вычислить длину его высоты , если известно, что и - взаимно перпендикулярные орты.

§5. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый условиями: 1) ;

2) и ; 3) - правая тройка векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.

Из определения векторного произведения следует, что:

.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) ; 2)

3) ; 4) , где - число;

Для векторов канонического базиса :

, , , , , .

Для векторов и , заданных координатами , векторное произведение вычисляется по формуле:

.

Некоторые приложения векторного произведения:

1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах: .

2) Установление параллельности векторов и : .

3) Определение момента силы , приложенной в точке относительно некоторой точки пространства : .

2.71 Вычислить, если :

а) ; б) .

2.72 Упростить выражения:

а) б) ;

в) ; г) .

2.73 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах единичные векторы, величина угла между которыми равна 60°.

2.74 Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где - единич-ные векторы и

2.75 Найти координаты вектора , если:

a) б)

2.76 Даны векторы . Найти координаты вектора: а) ; б) .

2.77 Определить, при каких значениях и вектор будет коллинеарен вектору если

а) ; б) .

2.78 Найти вектор ,

если .

2.79 Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках , , .

2.80 В треугольнике с вершинами в точках найти высоту

2.81 Даны два вектора: Найти вектор единичной длины, перпендикулярный к векторам , и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов имела положительную ориентацию.

2.82 Вектор , перпендикулярный оси Oz и вектору образует острый угол с осью Ox. Зная, что , найти его координаты.

2.83 Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам и , образует с ортом тупой угол и .

2.84. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам и , а также удовлетворяет условию .

2.85 Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно начала координат.

2.86 Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки .

2.87 Даны три силы, приложенные к точке : . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки .