Пример 35.

Круглый вал диаметром 60 мм, имеющий в месте перехода к диаметру 70 мм галтель радиусом 5 мм (см. рисунок), изготовлен из углеродистой стали, для которой = 80 МПа, =55 МПа, =35 МПа; =28 МПа и =20 МПа.

Вал изгибается моментом, меняющимся от до =600 Нм, и скручивается моментом, меняющимся от нуля до = 1800 Нм; при этом наибольших и наименьших своих значений изгибающий и крутящий моменты достигают одновременно. Коэффициент динамичности нагрузки для переменной составляющей цикла нормальных и касательных напряжений равен 2; коэффициент запаса прочности 1,8. Проверить прочность вала.

Решение.

Условие прочности вала, подвергающегося одновременно изгибу и кручению, может быть написано так:

Здесь и - допускаемые напряжения при изгибе и кручении, определяемые для детали в зависимости от степени асимметрии цикла нормальных и касательных напряжений.

Определим и .

Характеристика цикла при изгибе .

Величину допускаемого напряжения при изгибе (симметричный цикл) определим по формуле

Величину теоретического коэффициента концентрации напряжений при изгибе вала с галтелью находим по таблице. Для отношения , применяя линейную интерполяцию между значениями при и при , имеем . Величину коэффициента чувствительности определяем по графику; при и МПа имеем q = 0,67. Таким образом,

Величину масштабного коэффициента определяем по кривой 2; при d = 60 мм имеем а_М =1,46. Так как k =1,8 и К_Д = 2, то

Характеристика цикла при кручении . Величину допускаемого напряжения для симметричного цикла при кручении определяем по формуле

Величину теоретического коэффициента концентрации напряжений при кручении вала с галтелью находим по таблице. Интерполируя между значениями при , при , для отношения находим . Величина коэффициента чувствительности при и МПа, равна q = 0,55. Поэтому

Величина масштабного коэффициента та же, что и при изгибе: а_М = 1,46.

Таким образом, допускаемое напряжение для симметричного цикла при кручении равно

Допускаемое напряжение для постоянного цикла при кручении равно

Величину допускаемого напряжения при кручении детали для цикла с характеристикой r = 0 определяем по формуле

Наибольшие действительные значения напряжений и при изгибе и кручении вала равны:

,

и

Подставив в условие прочности значения и , а также найденные

Прочность вала обеспечена.

Пример 36.

Стальной вал диаметром 30 мм испытывает симметричный изгиб под действием момента М_Х = кНм (см. рис.). В средней части вал имеет утолщение, причем D/d = 1,25, радиус галтели r = 0,1d. Обработка токарная, чистовая, материал – сталь 60 с характеристиками: временное сопротивление = 800 МПа, предел выносливости = 300 МПа. Проверить циклическую прочность вала, если коэффициент запаса .

Решение.

Условие прочности при изгибе симметричной нагрузкой . Для условий задачи М_Хmax= 0,2 кНм, , . Допускаемое напряжение где предел выносливости детали.

Из приложений находим: коэффициент качества поверхности = 0,9 (чистовая обточка, , приложение 9), масштабный фактор = 0,85 (сталь углеродистая, = 500...800 МПа, диаметр 30 мм, приложение 10). Эффективный коэффициент концентрации напряжений =1,54 (сталь =800 МПа, D/d =1,25, r/d = 0,1, приложение 11). Вычисляем, таким образом, , т.е. циклическая прочность обеспечена.

Пример 37.

Для цилиндрической клапанной пружины (рис.1) двигателя внутреннего сгорания определить коэффициент запаса прочности аналитически (по формуле С.В. Серенсена и Р.С. Кинасошвили) и проверить его графически по диаграмме предельных амплитуд, построенной строго в масштабе. Средний диаметр пружины D = 40 мм, диаметр проволоки пружины d = 4 мм. Сила, сжимающая пружину в момент открытия клапана =240 Н, в момент закрытия клапана = 96 Н. Материал проволоки пружины – хромованадиевая сталь с механическими характеристиками: предел текучести = 900 МПа, предел выносливости при симметричном цикле =480 МПа, предел выносливости при отнулевом (пульсирующем) цикле = 720 МПа. Для проволоки пружины эффективный коэффициент концентрации напряжений =1,05, коэффициент влияния качества обработки поверхности = 0,84, коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения = 0,96.

Рис.1

Решение.

1) Определение максимального и минимального напряжений в проволоке пружины и вычисление коэффициента асимметрии цикла R.

Для вычисления напряжений используем формулу

где k – коэффициент, учитывающий влияние поперечной силы и неравномерность распределения напряжений от ее воздействия, а также влияние деформации изгиба вследствие кривизны витков пружины.

Этот коэффициент можно определить по приближенной формуле

где - характеристика геометрических параметров пружины.

В данном примере

тогда

Определим величины напряжений:

Коэффициент асимметрии цикла

2) Нахождение среднего ( ) и амплитудного ( ) напряжений цикла

Найдем величину среднего и амплитудного напряжений цикла зависимости от :

3) Определение коэффициента запаса прочности.

Деталь (пружина) может перейти в предельное состояние по усталости и по пределу текучести.

Коэффициенты запаса прочности по усталости и по пределу текучести определяются по формулам:

где - предел выносливости при симметричном цикле;

- предел текучести;

- коэффициент, учитывающий концентрацию напряжений, влияние качества обработки поверхности и абсолютных размеров поперечного сечения;

- угловой коэффициент:

Коэффициент запаса прочности по усталости

Коэффициент запаса по пределу текучести

Так как 1,77<2,07, то коэффициент запаса прочности для пружины (по усталости) n = 1,77.

Для анализа примем силу, сжимающую пружину в момент закрытия клапана, = 180 Н. Тогда

среднее напряжение

амплитудное напряжение

коэффициент запаса прочности по усталости

коэффициент запаса по пределу текучести

Так как 2,07<2,43, то в этом случае коэффициент запаса прочности (по пределу текучести) n = 2,07.

4. Построение схематизированной диаграммы предельных амплитуд

Для проверки полученных в п.3 коэффициентов запаса прочности для пружины построим диаграмму предельных амплитуд по методике, предложенной С.В. Серенсеном и Р.С. Кинасошвили (рис. 2).

Порядок построения необходимо описать при выполнении контрольной работы.

Рис. 2

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

1) Тело, состоящее из двух стальных стержней I и II (рис. 1), движется вверх с ускорением а = 2g. Поперечное сечение стержня I – квадрат со стороной h = 10 см, поперечное сечение стержня II – круг диаметром d = 2,5 см. Длины l₁ = 40 см, l_II = 80 см. Плотность материала стержней = 7,75 г/см³.

Определить максимальные нормальные динамические напряжения в каждом стержне.

2) Стальной канат длиной l = 20 м с прикрепленным к нему грузом весом Р = 5 кН движется вверх с постоянным ускорением а = g (рис. 2). Рассчитать минимально допустимую (необходимую) площадь поперечного сечения каната, если плотность материала каната