1. Определение полного статического прогиба сече­ния с балки кd.

Сначала определим статический прогиб сече­ния С балки КD при опирании ее на абсолютно жесткое основание. Составим уравнение прогиба методом начальных параметров, при­няв начало координат в сечении К:

. (1)

При этом, ; ; ; . Для нахождения используем условие отсутствия прогиба в сечении D: . При z = l м имеем:

; .

Теперь, подставив найденное значение в уравнение (1), получим формулу для определения прогиба сечения С:

м.

Для определения полного прогиба сечения С с учетом упругого характера опирания балки КD (рис. 1, ж) необходимо предварительно найти прогибы концов консольных балок АК и DМ. Для этого воспользуемся фор­мулой, полученной в примере 34:

м;

м.

Эпюра перемещений для составной конструкции из балок изо­бражена на рис. 1, ж. Величину полного перемещения сечения С балки с учетом перемещения его в результате смещения опор балки КD, опирающейся на консольные балки, определяем по формуле:

.

2. Определение динамических коэффициентов и на­пряжений.

Динамический коэффициент при падении груза G на балку КD, опирающуюся на консольные балки АК и DМ, опреде­ляем по формуле:

а при опирании балки КD на абсолютно жесткое основание -

.

Для вычисления динамических напряжений необходимо внача­ле определить статические напряжения, возникающие в сечении С:

кН/м2,

а затем динамические напряжения:

.

Динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на консольные балки,

кН/м²,

и динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на абсолютно жесткое основание:

кН/м².

Таким образом, если опоры лежат на абсолютно жестком осно­вание, то в сечении С возникают динамические напряжения в раза большие по величине. Статические напряжения, возникающие в сечении А:

кН/м².

При динамическом коэффициенте К_Д = 78,1, полученном в предположении упругого опирания балки КD в точках К и D, нахо­дим динамические напряжения в сечении А:

кН/м².

Статическое и динамическое напряжения в сечении М балки DМ:

кН/м².

кН/м².

Следовательно, вне зависимости от того, на какое основание опирается балка KD, опасное сечение находится в точке удара.

Пример 13.

На раму, показанную на рис. 1, падает груз Q с высоты . Вес груза , поперечное сечение рамы – двутавр № 20. Требуется найти максимальные нормальные напряжения в опасном сечении рамы и прогиб в точке удара от ударного действия нагрузки.

Рис.1

Решение.

Чтобы определить динамический коэффициент по формуле , необходимо найти прогиб точки С (точки приложения нагрузки Q) от статического действия нагрузки. Найдем этот прогиб, используя метод Максвелла–Мора и интегрируя формулу Максвелла–Мора с помощью правила Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки Q (рис. 2, а) и от единичной силы, соответствующей искомому перемещению (рис. 2, б). Перемножим эти эпюры по правилу Верещагина:

.

Подставляя величину жесткости для двутавра № 20, сосчитаем прогиб в "см"

Рис.2

.

Найдем динамический коэффициент по формуле

.

Определим максимальные нормальные напряжения в опасном сечении от статического действия нагрузки. В рассматриваемом примере несколько равно опасных сечений с изгибающим моментом . Максимальные статические напряжения равны

.

Динамические напряжения от действия ударной нагрузки увеличатся согласно формуле в раз.

.

Видно, что динамические напряжения не превосходят предела пропорциональности = 200 МПа, и материал работает упруго.

Во столько же раз увеличится и динамический прогиб:

.

Пример 14.

Дано: на раму падает груз весом P с некоторой высоты h (рис.1)

материал – сталь, = 160 МПа, МПа;

a = 0,6 м, b = 0,2 м, c = 0,8 м; d = 11 см, P = 1 кН, h = 14 см;

Требуется:

1) раскрыть статическую неопределимость рамы;

2) определить динамический коэффициент;

3) определить динамические напряжения и прогибы;

Рис.1

Решение:

Рис.2

Решение.

1. Раскрытие статической неопредимости рамы

Выбираем эквивалентную систему, отбрасывая реакцию катка и заменяя ее неизвестной силой X₁ (рис. 2, а).

а) построение грузовой эпюры

Определяем реакцию заделки A, проецируя все внешние силы на ось y (рис. 2, б):

Изгибающий момент от статической силы P на 2 участке будет:

в сечении D момент равен 0, в сечении A:

Строим эпюру моментов от силы P (рис. 2, в).

б) построение эпюры моментов от единичной силы

Вместо неизвестной X₁ прикладываем единичную силу и рассматриваем ее действие на раму (рис. 2, г). Реакция заделки в этом случае равна:

Изгибающий момент от единичной силы равен:

в сечении C момент равен 0, в сечении A:

Строим эпюру моментов от единичной силы (рис.2, д).

в) решение канонического уравнения

В сечении B приложения неизвестной реакции прогиб равен 0 (т.к. катковая опора препятствует вертикальному перемещению), поэтому и в сечении C прогиб равен 0, т.е. суммарный прогиб от действия неизвестной реакции X₁ и силы P равен 0:

где , – прогибы от действия единичной силы и силы P.

Находим прогибы способом Верещагина:

где – площадь фигуры на грузовой эпюре, – ордината под центром тяжести этой фигуры на эпюре единичной силы.

Рис.3

Находим прогиб от единичной силы: площадью фигуры в формуле Верещагина будет площадь эпюры единичной силы, ординатой – ордината под центром тяжести эпюры единичной силы (2/3 высоты эпюры); поэтому:

Находим прогиб от силы P: площадью фигуры будет площадь грузовой эпюры, ординатой – ордината на эпюре единичной силы под центром тяжести грузовой эпюры (рис. 3); поэтому:

Тогда, решая каноническое уравнение получаем:

Неизвестная реакция X₁ равна по величине и направлена по направлению единичной силы.