Примеры для самостоятельного решения
Найти частные производные первого порядка функций:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
5.
; доказать, что
;
6.
;
доказать, что
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Найти частные производные второго порядка функции , если:
1.
;
5.
;
2.
;
6.
;
3.
;
7.
;
4.
;
8.
.
Вычислить частные производные второго порядка функции в заданной точке:
1.
;
5.
;
2.
;
6.
;
3.
;
7.
;
4.
;
8.
;
9.
,
доказать, что
;
10.
Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
;
11.
.
Доказать, что
;
12.
.
Доказать, что
;
13.
.
Доказать, что
.
III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
Определение 1. Если функция
имеет в точке
непрерывные частные производные, то
ее полное приращение в этой точке
может быть представлено в виде:
,
где
при
.
Выражение
есть главная часть полного приращения
;
она называется полным дифференциалом
функции в точке
и обозначается
или
:
.
Под дифференциалами независимых
переменных условимся понимать произвольные
приращения этих переменных:
.
Таким образом, в каждой точке
,
где функция дифференцируема, дифференциал
можно записать по формуле:
.
Аналогично, для функции трех переменных
.
Отметим, что полный дифференциал функции обладает инвариантной формой так же, как и дифференциал функции одной переменной. При малых приращениях независимых переменных можно приближенно полагать полное приращение функции равным полному дифференциалу функции.
Найти полные дифференциалы функций.
Пример 1.
.
Для нахождения дифференциала функции вычислим частные производные:
.
Используя формулу для дифференциала функции двух переменных, получим:
.
Пример 2. .
Функция определена при условии
.
Вычислим частные производные функции.
Фиксируя
,
получим сложную степенную функцию
переменной
,
поэтому
.
Фиксируя
,
получим показательно-степенную функцию,
поэтому для нахождения частной производной
по
сначала представим эту функцию, используя
основное логарифмическое тождество, в
виде показательной функции:
.
.
Поэтому
.
Пусть
и
являются независимыми переменными.
Дифференциалом второго порядка от
функции
называется дифференциал от полного
дифференциала:
.
Для дифференциала второго порядка справедлива формула:
,
где
и
-
приращения независимых переменных
и
.
Последняя формула напоминает формулу для квадрата суммы двух слагаемых.
Можно также рассмотреть
и убедиться в том, что
(напоминает формулу куба суммы двух слагаемых).
Эта аналогия в формулах может быть
продолжена и дальше: формула для любого
напоминает формулу возведения любого
двучлена в n-ю
степень по правилу бинома Ньютона.
Для функции трех переменных
.