- •I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •II Частные производные функции нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
- •Примеры для самостоятельного решения
- •IV Производная по направлению и градиент
- •Примеры для самостоятельного решения
- •V Экстремум функций нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •VI Условный экстремум
- •Задачи для самостоятельного решения
- •VII Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Литература
Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Ростовский Государственный Университет
Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко, С.В.Фоменко
Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных.
Методические указания для студентов 1-го курса
дневного отделения экономического факультета РГУ
Ростов-на-Дону 2004
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 7 от 9 марта 2004 года.
Рецензент: доцент С.В.Фоменко
До сих пор мы рассматривали функции, значения которых зависят от значений одной переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и , определяется значениями двух переменных и , а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами -- значениями трех переменных . Примеров таких зависимостей можно привести много.
I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции
Определение. Совокупность упорядоченных пар действительных чисел называется двумерным координатным пространством, где - первая координата, - вторая координата точки этого пространства.
Если расстояние между двумя точками и определяется по формуле , то это двумерное пространство называется евклидовым пространством и обозначается (вся плоскость XOY). Аналогично определяются трехмерное евклидово пространство , …, - n-мерное евклидово пространство.
Определение функции двух переменных.
Если каждой точке множества по некоторому правилу ставится в соответствие одно вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве определена числовая функция двух переменных и пишут или . Множество называют областью определения функции .
Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы будем использовать аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.
Рассмотрим примеры функций двух переменных.
1. . Область определения этой функции – множество , то есть вся плоскость XOY.
2. . Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определено, то есть множество точек, для которых , или . Множество всех таких точек образует
круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
3. . Область определения этой функции – множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть множество точек, лежащих вне круга радиуса 1 и с центром в начале координат.
Если вместо множества точек плоскости взять множество точек пространства, в котором каждая точка имеет три координаты , то аналогично можно дать определение функции трех переменных или . Областью определения функции трех переменных является все трех мерное пространство или его часть. Аналогично можно ввести понятие функций четырех и вообще n переменных . Однако области определения таких функций уже не имеют наглядного геометрического истолкования.
Заметим, что между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. В то же время, переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений. Поэтому обычно мы будем подробно рассматривать только случай функций двух переменных.
Примеры для самостоятельного решения
Найти области определения следующих функций двух функций и изобразить их на плоскости:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. .
II Частные производные функции нескольких переменных
Перенесем на функции нескольких переменных основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а, именно, понятия производной и дифференциала. Для функций нескольких переменных придется определять несколько производных, точнее, столько производных, сколько независимых переменных у данной функции.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменной приращение , а значение переменной менять не будем, то есть перейдем на плоскости от точки к точке ( таково, что точка принадлежит окрестности точки М). При этом значение функции также изменится. Назовем это изменение частным приращением функции по переменной : .
Аналогично можно составить частное приращение по переменной :
.
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется частной производной по переменной (по переменной ) от функции в точке .
Частные производные обозначаются одним из следующих символов: , или , или , или . Если нужно явно указать, в какой точке вычислена частная производная, то пишут, например, так: , или .
Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. Следовательно, правила и формулы отыскания частных производных те же, что и правила и формулы обычных производных функций одной переменной.
Найти частные производные следующих функций:
Пример 1. .
Функция определена в области . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .
Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :
.
Пример 2. .
Функция определена при условии . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .
Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :
.
Пример 3. . Доказать, что .
Функция определена при . Найдем частные производные:
.
.
Проверим, справедливо ли равенство, для этого вычислим величину выражения , подставив туда найденные частные производные:
,
то есть действительно равенство верно.
Пример 4. . Доказать, что .
Функция определена при .
. Вычислим:
.
Следовательно, равенство верно.
Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Так как частные производные и какой-либо функции двух переменных сами являются, вообще говоря, функциями двух переменных, то от них опять можно брать частные производные по и . Результат дифференцирования называется частной производной второго порядка (или просто второй частной производной). Если от взять частную производную по , то есть вычислить , то результат обозначается или . От частной производной можно взять частную производную по : . Результат дифференцирования называется смешанной частной производной второго порядка и обозначается: или .
Таким же образом можно вычислить частные производные второго порядка и , полученные от дифференцирования частной производной по и по соответственно.
Справедливо утверждение: если смешанные частные производные, отличающиеся порядком дифференцирования, непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть .
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .
Найдем частные производные первого порядка:
;
.
Находим частные производные от этих:
;
;
.
Так как смешанная производная второго порядка непрерывна на , то она не зависит от порядка дифференцирования, то есть .
Можно определить и производные более высоких порядков. Так для функции можно написать восемь частных производных третьего порядка:
(или ), , шестнадцать частных производных четвертого порядка и так далее.
Если рассматривать функцию трех переменных , то для нее имеем три частные производные первого порядка , девять частных производных второго порядка и так далее.
Заметим, что смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например .