Вещественные переменные

Вещественные числа представляются в компьютере в так называемой экспоненциальной, или плавающей, форме. Вещественное число r имеет вид

r = ±2^e* m

Представление числа состоит из трех элементов:

1. знак числа - плюс или минус. Под знак числа отводится один бит в двоичном представлении, он располагается в старшем, т.е. знаковом разряде. Единица соответствует знаку минус, т.е. отрицательному числу, ноль - знаку плюс. У нуля знаковый разряд также нулевой;

2. показатель степени e, его называют порядком или экспонентой. Экспонента указывает степень двойки, на которую домножается число. Экспонента может быть как положительной, так и отрицательной (для чисел, меньших единицы). Под экспоненту отводится фиксированное число двоичных разрядов, обычно восемь или одиннадцать, расположенных в старшей части двоичного представления числа, сразу вслед за знаковым разрядом;

3. мантисса m представляет собой фиксированное количество разрядов двоичной записи вещественного числа в диапазоне от 1 до 2:

4. 1 m<2

Следует подчеркнуть, что левое неравенство нестрогое - мантисса может равняться единице, а правое - строгое, мантисса всегда меньше двух. Разряды мантиссы включают один разряд целой части, который ввиду приведенного неравенства всегда равен единице, и фиксированное количество разрядов дробной части. Поскольку старший двоичный разряд мантиссы всегда равен единице, хранить его необязательно, и в двоичном коде он отсутствует. Фактически двоичный код хранит только разряды дробной части мантиссы.

В языке Си вещественным числам соответствуют типы float и double. Элемент типа float занимает 4 байта, в которых один бит отводится под знак, восемь - под порядок, остальные 23 - под мантиссу (на самом деле, в мантиссе 24 разряда, но старший разряд всегда равен единице, поэтому хранить его не нужно). Тип double занимает 8 байтов, в них один разряд отводится под знак, 11 - под порядок, остальные 52 - под мантиссу. На самом деле в мантиссе 53 разряда, но старший всегда равен единице и поэтому не хранится. Поскольку порядок может быть положительным и отрицательным, в двоичном коде он хранится в смещенном виде: к нему прибавляется константа, равная абсолютной величине максимального по модулю отрицательного порядка. В случае типа float она равна 127, в случае double - 1023. Таким образом, максимальный по модулю отрицательный порядок представляется нулевым кодом.

Основным типом является тип double, именно он наиболее естественен для компьютера. В программировании следует по возможности избегать типа float, так как его точность недостаточна, а процессор все равно при выполнении операций преобразует его в тип double. (Один из немногих случаев, где применение типа float оправдано, - трехмерная компьютерная графика.)

Несколько примеров представления вещественных чисел в плавающей форме:

1. 1.0 = +2⁰*1.0

Здесь порядок равен 0, мантисса - 1. В двоичном коде мантисса состоит из одних нулей, так как старший разряд мантиссы (всегда единичный) в коде отсутствует. Порядок хранится в двоичном коде в смещенном виде, он равен 127 в случае float и 1023 в случае double;

2. 3.5 = +2¹*1.75

Порядок равен единице, мантисса состоит из трех единиц, из которых в двоичном коде хранятся две: 1100...0; смещенный порядок равен 128 для float и 1024 для double;

3. 0.625 = +2^-1*1.25

Порядок отрицательный и равен -1, дробная часть мантиссы равна 0100...0; смещенный порядок равен 126 для float и 1022 для double;

4. 100.0 = +2⁶*1.5625

Порядок равен шести, дробная часть мантиссы равна 100100...0; смещенный порядок равен 133 для float и 1029 для double.

При выполнении сложения двух положительных плавающих чисел происходят следующие действия:

1. выравнивание порядков. Определяется число с меньшим порядком. Затем последовательно его порядок увеличивается на единицу, а мантисса делится на 2, пока порядки двух чисел не сравняются. Аппаратно деление на 2 соответствует сдвигу двоичного кода мантиссы вправо, так что эта операция выполняется быстро. При сдвигах правые разряды теряются, из-за этого может произойти потеря точности (в случае, когда правые разряды ненулевые);

2. сложение мантисс;

3. нормализация: если мантисса результата стала равна или превысила двойку, то порядок увеличивается на единицу, а мантисса делится на 2. В результате этого мантисса попадает в интервал 1 m<2. При этом возможна потеря точности, а также переполнение, когда порядок превышает максимально возможную величину.

Вычитание производится аналогичным образом. При умножении порядки складываются, а мантиссы перемножаются как целые числа, после чего у результата правые разряды отбрасываются.