Типы переменных

Тип переменной определяется множеством значений, которое она может принимать. Кроме того, тип определяет операции, которые возможны с переменной. Например, с численными переменными возможны арифметические операции, с логическими - проверка, истинно или ложно значение переменной, с символьными - сравнение, с табличными (или массивами) - чтение или запись элемента таблицы с заданным индексом и т.п. Как правило, в любом современном языке имеется базовый набор типов и несколько конструкций, которые позволяют строить новые типы из уже созданных. Наборы базовых типов и конструкций различаются для разных языков. В описании неформального алгоритмического языка будут использоваться типы и конструкции, которые присутствуют в большинстве языков практического программирования.

Целочисленные переменные

Тип целое число является основным для любого алгоритмического языка. Связано это с тем, что содержимое ячейки памяти или регистра процессора можно рассматривать как целое число. Адреса элементов памяти также представляют собой целые числа, с их помощью записываются машинные команды и т.д. Символы представляются в компьютере целыми числами - их кодами в некоторой кодировке. Изображения также задаются массивами целых чисел: для каждой точки цветного изображения хранятся интенсивности ее красной, зеленой и синей составляющей (в большинстве случаев - в диапазоне от 0 до 255). Как говорят математики, целые числа даны свыше, все остальное сконструировал из них человек.

Общепринятый в программировании термин целое число или целочисленная переменная, строго говоря, не вполне корректен. Целых чисел бесконечно много, десятичная или двоичная запись целого числа может быть сколь угодно длинной и не помещаться в области памяти, отведенной под одну переменную. Целая переменная в компьютере может хранить лишь ограниченное множество целых чисел в некотором интервале. В современных компьютерах под целую переменную отводится 4 байта, т.е. 32 двоичных разряда. Она может хранить числа от нуля до 2 в 32-й степени минус 1. Таким образом, максимальное целое число, которое может храниться в целочисленной переменной, равно

2³² - 1 = 4294967295

Сложение и умножение значений целых переменных выполняется следующим образом: сначала производится арифметическая операция, затем старшие разряды результата, вышедшие за границу тридцати двух двоичных разрядов (т.е. четырех байтов), отбрасываются. Определенные таким образом операции удовлетворяют традиционным законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

a+b = b+a, ab = ba

(a+b) + c = a+(b+c), (ab)c = a(bc)

a(b+c) = ab+ac

Кольцо вычетов по модулю m

Целочисленный тип компьютера в точности соответствует важнейшему понятию математики - понятию кольца вычетов по модулю m. В качестве m выступает число 2³² = 4294967296. В математике кольцо Z_m определяется следующим образом. Все множество целых чисел Z разбивается на m классов, которые называются классами эквивалентности. Каждый класс содержит числа, попарная разность которых делится на m. Первый класс содержит числа

{...,-2m,-m,0,m,2m, ...}

второй

{..., -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, ...}

последний

{..., -m-1, -1, m-1, 2m-1, 3m-1, ...}

Элементами кольца Z_m являются классы эквивалентности. Их ровно m, так что, в отличие от множества целых чисел Z, кольцо Z_m содержит конечное число элементов. Операции с классами выполняются следующим образом: надо взять по одному представителю из каждого класса, произвести операцию и определить, в какой класс попадает результат. Этот класс и будет результатом операции. Легко показать, что он не зависит от выбора представителей.

Все числа, принадлежащие одному классу эквивалентности, имеют один и тот же остаток при делении на m. Таким образом, класс эквивалентности однозначно определяется остатком от деления на m. Традиционно остаток выбирается неотрицательным, в диапазоне от 0 до m -1. Остатки используют для обозначения классов, при этом используются квадратные скобки. Так, выражение [5] обозначает класс эквивалентности, состоящий из всех чисел, остатки которых при делении на m равны пяти. Все кольцо Z_m состоит из элементов

[0],[1],[2], ...,[m-1],

например, кольцо Z₅ состоит из элементов

[0],[1],[2],[3],[4].

В элементарной школьной математике результат операции остатка от деления традиционно считается неотрицательным. Операция нахождения остатка будет обозначаться знаком процента %, как в языке Си. Тогда, к примеру,

3%5 = 3,

17%5 = 2,

(-3)%5 = 2,

(-17)%5 = 3.

Отсюда видно, что в школьной математике не выполняется равенство

(-a)%b = -(a%b),

т.е. операции изменения знака и нахождения остатка не перестановочны (на математическом языке, не коммутируют друг с другом). В компьютере операция нахождения остатка от деления для отрицательных чисел определяется иначе, ее результат может быть отрицательным. В приведенных примерах результаты будут следующими:

3%5 = 3,

17%5 = 2,

(-3)%5 = -3,

(-17)%5 = -2.

При делении на положительное число знак остатка совпадает со знаком делимого. При таком определении тождество

(-a)%b = a%(-b) = -(a%b)

справедливо. Это позволяет во многих алгоритмах не следить за знаками (так же, как в тригонометрии формулы, выведенные для углов, меньших 90 градусов, автоматически оказываются справедливыми для любых углов).

Вернемся к рассмотрению кольца Z_m. Выберем по одному представителю из каждого класса эквивалентности, которые составляют множество Z_m. Систему таких представителей называют системой остатков. Традиционно рассматривают две системы остатков: неотрицательную систему и симметричную систему. Неотрицательная система остатков состоит из элементов

0,1,2,3, ...m-1.

Очень удобна также симметричная система остатков, состоящая из отрицательных и неотрицательных чисел, не превосходящих m/2 по абсолютной величине. Пусть

k = целая часть(m/2)

тогда симметричная система остатков при нечетном m состоит из элементов

-k, -k+1, ..., -1, 0, 1, ..., k-1, k,

а при четном m - из элементов

-k, -k+1, ..., -1, 0, 1, ..., k-1.

Например, при m = 5 симметричная система остатков состоит из элементов

-2, -1, 0, 1, 2.

Кольцо Z_m можно представлять состоящим из элементов, принадлежащих выбранной системе остатков. Арифметические операции определяются следующим образом: надо взять два остатка, произвести над ними операцию как над обычными целыми числами и выбрать тот остаток, которой лежит в том же классе эквивалентности, что и результат операции. Например, для симметричной системы остатков множества Z₅ имеем:

1+1 = 2, 1+2 = -2,

1+(-2) = -1, 1+(-1) = 0,

(-2)+2 = 0, (-2)+(-2) = 1.