§7. Деякі нетипові задачі на означений інтеграл

Приклад 7.1. Обчислити

.

Розв'язання. Функція має період , а тому за властивістю періодичної функції і з урахуванням формули , маємо

Приклад 7.2 Обчислити

.

Розв'язання. Оскільки

то

Приклад 7.3. Обчислити

.

Розв'язання. Функція неперервна на , більш того, додатна. Можна оцінити інтеграл зверху і знизу, оскільки

,

а тому

.

Для обчислення інтеграла такого типу, з урахуванням зауваження , рекомендована підстановка , в результаті якої нижня і верхня границі дорівнюють нулю . Дослідження цього „парадоксу” показує, що на проміжку функція розривна і ми не мали права застосувати цю підстановку.

Підемо іншим шляхом. Функція періодична (період , тому що ), а тому за властивістю інтеграла від періодичної і парної функції маємо:

Для обчислення останнього інтеграла рекомендуємо універсальну тригонометричну підстановку (а не ). На відрізку функція має неперервну похідну.

Отже, шуканий інтеграл дорівнює . Неважко перевірити, що .

Приклад 7.4. Обчислити

.

Розв'язання. Ми не будемо коментувати викладки, як у попередньому інтегралі, а приведемо результати обчислень:

Якщо позначити через , то . Отже,

.

Приклад 7.5. Обчислити інтеграл

в залежності від і побудувати графік функції .

Розв'язання. Зрозуміло, що

а тому

Графік функції має вигляд

Приклад 7.6. Знайти, при якому значені інтеграл приймає найменше значення, фіксоване число.

Розв'язання. Графіком функції на площині є сукупність двох променів, що проведені в півплощині із точки з координатами один під кутом до додатного напряму осі абсцис, другий під кутом (рис. 2, випадки 1)-3))

1) 2) 3)

Рис. 2

Інтеграл геометрично виражає площу криволінійної трапеції, що зверху обмежена графіком , прямою зліва, а справа − прямою .

Якщо або (рис. 2₁₎) то такою фігурою є трапеція. Якщо попадає на кінець відрізка ( або , рис. 2₂₎), то трапеція виродиться в рівнобедрений трикутник, для якого відрізок катет. Зрозуміло, що площа трапеції максимуму не має і буде найменшою, коли трапеція виродиться в трикутник. У цьому випадку площа фігури дорівнює .

Нехай тепер (рис. 2₃₎). У цьому випадку фігура є об’єднання двох прямокутних трикутників з катетами та . Сумарна їх площа дорівнює , тобто функція , для якої потрібно знайти мінімум, дорівнює

.

Оскільки одержали квадратний тричлен, то відомо, що коли , то одержимо мінімальне значення

.

Дійсно, в цьому випадку

Отже, найменше значення буде, коли і при цьому значення інтеграла дорівнює .

Приклад 7.7. Якщо функції та дорівнюють нулю, коли , то функція аргументу , визначена через інтеграл зі змінною верхньою границею

називається згорткою функцій і , її позначають . При цьому , як неважко перевірити, .

Позначимо через функцію виду

Потрібно:

а) обчислити інтеграл за формулою (7.1), якщо . Зобразити графік функції .

б) обчислити інтеграл за формулою (7.1), якщо . Зобразити графік функції .

Розв'язання.

а) підінтегральна функція відмінна від нуля, коли

(дивись рис.3)

Зрозуміло, що або . За формулою (7.1) маємо:

Рис. 3

Графік зображено на рис.4

б) як і вище, зобразимо на площині множину точок, в яких підінтегральна функція відмінна від нуля (рис. 5):

Рис. 5

Зрозуміло, що функція , визначена за формулою (7.1), дорівнює нулю, коли або і

Графік функції зображено на рис.6.

Рис. 6

Приклад 7.8. Довести, що

Розв'язання. Сума

Рис. 7

є сума площ всіх прямокутників, показаних на рис. 7, тобто площа ступінчатої фігури. Ця площа строго більша за площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , для якої , що і потрібно було довести.

Цю нерівність можна довести і іншими методами, наприклад, за методом математичної індукції.

Дійсно, коли , то .

Нехай тепер нерівність вірна, коли , тобто

.

Доведемо нерівність для . Потрібно довести, що

Покажемо, що для будь-якого виконується нерівність , або

.

Останню нерівність неважко довести, якщо розглянути функцію

і врахувати, що , а , коли , тобто спадає. Тому .

Таким чином, для будь-якого

.

Тим самим доведено, що послідовність не має границі, коли . Більш того, оскільки , коли , то

Приклад 7.9. Знайти границю

Розв'язання. Розглянемо функцію , неперервну, коли . Вираз можна трактувати як інтегральну суму за Коші для функції на відрізку , де , а тому

.

Приклад 7.10 Знайти границю

.

Розв'язання. Перетворимо вираз наступним чином

Прологарифмуємо

.

Розглянемо функцію . Вона неперервна на цьому інтервалі, але необмежена. Формально праву частину (7.2) можна розглядати як інтегральну суму за Коші для функції , де . У формулі інтегрування частинами зазначалось, що інтеграл існує, якщо існує . А тому

.

Отже,

.