§6 Основні правила визначеного інтегрування

В першу чергу до основних правил безумовно слід віднести формулу Ньютона-Лейбніца.

Приклад 6.1.

Формула інтегрування частинами. Якщо функції та мають неперервні похідні на відрізку , тоді

. (6.1)

Зрозуміло, що обидва інтеграли існують, тому що функції .

За формулою Ньютона-Лейбніца інтеграл зліва дорівнює .

Можна довести сильніше твердження: якщо існує один з інтегралів в (6.1), то існує і другий і має місце (6.1).

Приклад 6.2 Обчислити

.

Функція не визначена в точці , але, за правилом Лопіталя, існує границя

,

а тому первісна для існує.

Приклад 6.3. Обчислити інтеграл

(6.2)

Інтегруючи за частинами, маємо

Звідки

,

де .

Якщо в (6.2) взяти , то

(6.3)

А коли , то

(6.4)

Заміна змінної під знаком визначеного інтеграла (інтегрування за допомогою підстановки): Якщо , причому , то для неперервної функції функція неперервна на і

(6.5)

Рівність (6.5) доводиться за допомогою формули Ньютона-Лейбніца з урахуванням, що .

У формуліровці правила (6.5) припускали, що неперервна функція. Можна посилити результат, якщо допустити лише, що . Доведення використовує розбиття , при цьому повинна бути строго монотонною функцією.

Приклад 6.4.

Формула заміни змінної в інтегральному численні є однією з основних формул. Відмітимо два важливих наслідки.

Наслідок 1. Якщо , то

(6.6)

За властивістю визначеного інтеграла (адитивність) маємо

.

За означенням парної функції на маємо , а тому

Позначення змінної інтегрування не суттєве.

А тому, коли парна функція на , то

, .

Аналогічно, якщо непарна функція на , то

,

а тому

, .

Приклад 6.5 .

,

функція непарна на .

Приклад 6.6.

Функції непарні і проміжок інтегрування є симетричним відносно початку координат, тому

.

Наслідок 2. Якщо періодична функція , то інтеграл від неї має одне і те ж значення на будь-якому відрізку довжиною , де період функції.

Дійсно,

.

Розглянемо

.

Оскільки

,

то для будь-якого

(6.7)

якщо періодична функція.

Приклад 6.7.

.

Відмітимо, що функція має період .

Зауваження. При обчисленні інтеграла за формулою

,

тобто за допомогою заміни змінної , де диференційована функція, нові границі інтегрування і знаходяться з системи рівнянь

,

Якщо функція не є монотонною, то може бути так, що система має декілька різних розвязків. У цьому випадку беруть будь-який розвязок, який визначає відрізок , на якому функція є монотонною.

Приклад 6.8. Обчислити

.

Покладемо , тоді , нові границі інтегрування і визначимо з системи рівнянь

Множиною всіх її розвязків є пари , де , і .

Візьмемо, наприклад, пару , де . На відрізку функція монотонна, а тому можна взяти за нові границі інтегрування. При цьому , а тому

.

Можна взяти і другу пару, наприклад, пару , де . Коли змінюється від до функція зростає, але і тому і

.

В той же час, наприклад, пара, , де така, що на відрізку функція не є монотонною, а тому не можна брати за нові границі інтегрування.

Зауваження. При обчисленні інтеграла

за допомогою підстановки , де диференційована на функція і монотонна на , нові границі інтегрування визначаються зі співвідношень . Якщо функція не є монотонною на відрізку , то відрізок розбивається на проміжки монотонності функції і інтеграл на відрізку замінюється сумою інтегралів на одержаних відрізках.