Основним наслідком цієї леми є

Теорема. Неперервна на відрізку функція має на цьому відрізку первісну, причому будь-яка первісна для функції на має вигляд

,

де деяка стала.

Дійсно, , за лемою 2 функція , яка визначена формулою (4.1), є первісною для функції , а дві первісні та для однієї ї тієї ж функції відрізняються на сталу.

Відмітимо, що теорема стверджує , що існує первісна для функції і в цьому її заслуга. Більш того, якщо неперервна всюди на , окрім скінченої кількості точок розриву, то первісна для функції також існує. Якщо , то тим більш вона інтегрована за Коші.

Приклад 4.1. Нехай

Тоді , оскільки , .

Відмітимо, що

(4.3)

Приклад 4.2. Нехай

Для знаходження використаємо адитивну властивість інтеграла, формули (4.2), (4.3) і правило диференціювання складної функції. Тоді

.

При знаходженні ми не шукали попередньо первісну, тим більше, що вона існує, але не в класі елементарних функцій.

І, накінець, відмітимо, що коли та функція , при умові, що неперервна справа в точці або зліва, якщо , має в цих точках односторонню похідну, праву, коли і ліву, коли , рівну та відповідно.

Інтеграл зі змінною верхньою границею часто використовують для означення нових, неелементарних функцій. Такими, наприклад, є

,

де інтегральний синус, а останні дві  інтеграли Френеля.

§5. Формула Ньютона-Лейбніца

Одержимо формулу обчислення інтеграла за допомогою первісних функцій.

Теорема. Якщо , то

(5.1)

де будь-яка з первісних для функції .

Дійсно, існування доказано за лемою 2 §4, причому

(5.2)

де стала.

Покладемо в (5.2) і одержимо , тоді

.

Зокрема, коли одержимо

тобто

що з точністю до позначення змінної інтегрування співпадає з ( 5.1).

Фундаментальне для всього аналізу співвідношення (5.1) називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Різницю значень будь-якої функції часто записують символом . У цих позначеннях формула Ньютона —Лейбніца має вигляд

(5.3)

При цьому може бути меншим за , рівним і більшим за . В останньому випадку обидві частини (5.3) одночасно змінюють знак на протилежний при перестановці місцями і .

Формула (5.3) зв’язує визначений інтеграл з невизначеним. Запис справа в (5.3) показує, що треба у функцію підставити значення , потім в ту саму функцію підставити і друге число відняти від першого.

Приклад 5.1. Як відомо, однією з первісних для функції є , а тому

.

Якщо , то результату (5.4) можливо надати слідуючий геометричний зміст: площа фігури обмежена дугою параболи , відрізком осі абсцис, та ординатою в точці , дорівнює частини площі прямокутника .

Таким чином, інтегральне числення дозволяє побудувати первісну для неперервної функції і зворотньо, якщо відома первісна для функції, то можливо обчислити інтеграл на відрізку, де функція є неперервною.

У прикладах по аналізу в більшій мірі використовують формулу (5.3) для обчислення інтеграла зліва. Формула справедлива і для функції обмеженої на і яка має скінчену кількість точок розриву.

Первісну знайти в класі елементарних функцій не завжди можливо, а тому конкретні інтеграли рідко знаходять через первісну, а часто використовують прямий рахунок на ЕВМ відповідно з численними методами обчислення інтегралів.

Приклад 5.2. Обчислити інтеграл

,

якщо та .

Розв'язання. Функція неперервна на , коли , а тому вона належить . Проінтегруємо її за Коші. Розіб’ємо відрізок точками , виберемо точки . Нагадаємо, що .

Позначимо через , і отримаємо

.

Тоді інтегральна сума за Коші

.

Як відомо, , а тому

,

тоді

.

Якщо , то , так як коли .

Якщо , то запишемо наступним чином:

і отримаємо, що . Отже,

Відмітимо, що коли , то функція буде необмеженою на .

Якщо не пам’ятати, що формула (5.3) справедлива за конкретними умовами, можна прийти до абсурду.

Приклад 5. 3.

в той час, як і . Але функція є необмеженою на відрізку і тому неінтегруєма за Ріманом. Нагадаємо ще раз: рівність повинна виконуватись для всіх . У даному випадку рівність не має сенсу в точці .

Зауваження. Якщо в лінійному просторі множини дійсних функцій ввести скалярний добуток за правилом

то має місце нерівність Коші-Буняковського

яку часто використовують для доведення нерівностей (оцінок інтегралів).

Приклад 5.4. Довести, що

.

За нерівністю Коші-Буняковського

а тому за оцінкою маємо

оскільки .