Звернемо увагу, що зворотне твердження не завжди вірне. Приклад 3.2. Функція

на будь-якому відрізку не інтегруєма, але і .

Якщо та , то

. (3.9)

Нерівність (3.9) випливає з (3.6), (3.7). Взагалі, властивості називають оцінками визначеного інтеграла і на практиці їх часто застосовують для грубих оцінок, не обчислюючи інтеграл.

Приклад 3.3.

,

тому

Нерівність (3.7) часто трактують, як твердження про монотонну залежність інтеграла від підінтегральної функції.

Наслідок 1. Якщо , , то на відрізку знайдеться таке число , що

(3.10)

Дійсно, якщо , то твердження (3.10) очевидне. Якщо , то покладемо . Тоді з (3.9) маємо, що . Відмітимо, що обидві частини (3.9) змінюють знак, якщо поміняти місцями і , а тому (3.10) вірне і коли .

Наслідок 2: якщо , то знайдеться точка , така, що

. (3.11)

У цьому випадку знаки , слідує замінити на та відповідно і слід пам’ятати основну властивість неперервної функції приймати всі значення з , тобто для числа знайдеться точка така, що .

Рівність (3.11) часто називають першою теоремою про середнє для інтеграла і якщо дають наступну геометричну інтерпретацію: криволінійна трапеція, площа якої дорівнює , рівновелика деякому прямокутнику з тією ж основою прямої та висотою , . Відмітимо більш узагальнену теорему про середнє в інтегралі.

Нехай , . Якщо невід’ємна (недодатня) функція на , то знайдеться точка така, що

(3.12)

Якщо, крім того, , то знайдеться точка така, що

(3.13)

Доведення тривіальне, оскільки, якщо , то (3.12) вірне, а якщо , то достатньо взяти рівним

.

Відмітимо, що (3.10), (3.11) слідує з (3.12), (3.13), коли .

Означення. Якщо , то число, яке позначають , таке, що

називають середнім значенням функції на відрізку .

Середнє значення для функції завжди існує, якщо , але точка така, що гарантовано існує тільки для .

Приклад 3.4.

Використаємо геометричну інтерпретацію . Маємо

.

Не існує точки , такої, що .

§4. Визначений інтеграл зі змінною верхньою границею

Нехай . Коли будь-яке число з , то на визначена функція (функціонал)

, (4.1)

яку часто називають визначеним інтегралом зі змінною верхньою границею.

Аналогічно,

— визначеним інтегралом зі змінною нижньою границею. Нагадаємо, що

,

а тому детально вивчимо (4.1).

Слід пам’ятати, що з умови слідує , (п. 4 властивості ).

Лема 1. Якщо , то при будь-якому , така, що .

Доведення. Оскільки , то за необхідної умови існування інтеграла на : Нехай , . Тоді за адитивністю інтегралу одержимо

При цьому використали оцінку інтеграла і якщо , то

.

Таким чином,

,

звідки, зрозуміло, і слідує неперервність в будь-якій точці .

Дослідимо функцію , визначену рівністю (4.1), більш детально.

Лема 2. Якщо і функція неперервна в деякій точці , то функція , яка визначена формулою (4.1), диференційована в цій точці і має місце рівність

або

Доведення. зрозуміло (дивись лему 1), що

де .

Оцінимо

За умовою, що неперервна в точці , а тому для будь-якого існує , що як тільки . Візьмемо , а тоді і

звідки

що і потрібно було довести.