§3. Властивості визначеного інтеграла

Розглянемо множину функцій з класу . Над ними можливо виконання операцій, результат яких знову належить .

Якщо . Тоді

Ми не будемо зупинятися на доведенні , але важливо відмітити, що пункти вірні не тільки для дійсно-визначених функцій, але і для комплексно-визначених.

Якщо векторні функції, то пункти також справедливі і для них, а операція взагалі кажучи немає місця, а тому пункт для них не розглядається.

Пункти визначають, що є лінійний простір множини функцій, інтегруємих на .

(лінійність інтеграла). Якщо , тоді (лінійна комбінація і ) також інтегруєма на , тобто , причому

(3.1)

Доведення. Розглянемо інтегральну суму для інтеграла, записаного зліва і виконаємо перетворення

(3.2)

Оскільки , то коли права частина останньої рівності прямує до лінійної комбінації інтегралів, що стоять у правій частині рівності (3.1), а тому і ліва частина має границю, коли і ця границя співпадає з границею правої частини.

Таким чином, доведено не тільки (3.1), а також і інтегровність функцій пунктів властивості . Функції, які визначені на множині функцій, називають функціоналами. Отже, інтеграл є лінійним функціоналом на лінійному просторі інтегруємих функцій.

Значення інтеграла залежить як від функції , так і від відрізка . Більш того, як вже відмічалось, з умови слідує , де . Нагадаємо, що розбиття відрізка проведено монотонною послідовністю точок , причому точка співпадає з нижньою границею інтегрування а точка з верхньою границею . Ця конструкція мала на увазі відрізок , тобто . Якщо тепер взяти два довільних числа і , взагалі може бути і більше за , лише вважати, що нижня границя інтегрування а верхня, провести розбиття , одержати інтегральну суму і при цьому вважати , якщо , і , якщо , то буде відрізнятися тільки знаком від інтегральної суми відповідного розбиття відрізка .

Виходячи з цього, якщо , то

(3.3)

а тому

(3.4)

Нехай і функція інтегруєма на найбільшому з відрізків з кінцями у вказаних точках.

Тоді має місце рівність

або, маючи на увазі (3.3),

.

Інакше кажучи, незалежно від того , або має місце рівність

. (3.5)

Якщо по меньшій мірі дві з точок співпадають, то, маючи на увазі (3.4), знову одержимо (3.5). Рівність (3.5) означає, що визначенний інтеграл є адитивна функція проміжку інтегрування, тому що для будь-яких чисел

.

Приклад 3.1.

Використаємо геометричний зміст визначеного інтеграла і одержимо

.

Доведення властивості потребує розгляду двох випадків:

Якщо і для даного розбиття точка є однією з точок , то доведення є елементарним. У випадку, коли точка не є однією з точок , то доведення потребує більших зусіль (побажаємо успіхів у самостійній роботі).

Якщо , то достатньо скористатися формулою (3.3).

Якщо та , то

. (3.6)

Більш того, якщо , , то

. (3.7)

Дійсно, розглянемо функцію . За властивістю маємо і . Тоді

а властивість (3.6) зрозуміло випливає з того, що

.

Якщо , то

. (3.8)

Із п. 3) властивості маємо , а нерівність (3.8) має місце тому, що

.