Розділ II Визначений інтеграл

§1. Означення визначеного інтеграла за Коші-Ріманом

Нехай функція, визначена на відрізку прямої зі значеннями в . Розглянемо спосіб означення інтеграла від функції за допомогою сум Коші- Рімана.

Будемо казати, що задається розбиття сегменту на частинні інтервали, якщо задані точки такі, що , .

Позначимо через . Тоді величину

називають рангом або діаметром розбиття .

Довільним чином виберемо по одній точці на кожному відрізку , та складемо суму виду

.

Позначимо її через , або коротко . Ця сума називається інтегральною сумою Рімана функції на відрізку .

Якщо невід'ємна функція на , то цілком ясно, що інтегральна сума приблизно визначає площу криволінійної трапеції як фігури, що обмежена зверху графіком функції , знизу − відрізком осі , а з боків відрізками прямих та . Коли (тим самим ), то зрозуміло, що є сенс вважати: площа криволінійної трапеції дорівнює границі інтегральної суми , „якщо остання існує”. Відмітимо, що коли не завжди .

Означення. Дійсне число називають границею інтегральної суми , коли , якщо для будь-якого існує , таке, що для всіх , діаметри яких менші , та будь –яких , виконується нерівність

або

.

У цьому випадку коротко пишуть

.

Число називають визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначають позначення Лейбніца.

Таким чином,

,

число називають нижньою границею інтеграла, верхньою, змінною інтегрування, підінтегральною функцією, підінтегральним виразом.

Якщо для функції існує , то функція називається інтегрованою за Ріманом на . Клас таких функцій позначається через .

Отже, якщо невід'ємна функція, то площу криволінійної трапеції можна обчислити через визначений інтеграл від функції на відрізку .

Відмітимо, що коли , то для будь якого розбиття

,

а тому

що зрозуміло з геометричної точки зору: площа прямокутника зі стороною та висотою .

Зауваження. Перше означення інтеграла як границі інтегральних сум належить Коші. Для неперервної функції він розглянув суми

,

і довів, що ця послідовність фундаментальна, а тому існує її границя, і поклав

.

Подальше узагальнення інтеграла належить Ріману, який замість сум увів більш загальні суми .

§2. Необхідна умова існування визначеного інтеграла

Теорема. Якщо , то функція обмежена на .

Доведення. Припустимо, що необмежена на . Проведемо розбиття відрізку і нехай на функція не є обмеженою. Запишемо інтегральну суму у вигляді

.

Те, що необмежена на , означає, що для будь – якого, досить великого, на знайдеться точка така, що .

Візьмемо послідовність . Тоді для

Зрозуміло, що

,

а тому

і

.

Це означає, що вибором проміжних точок можливо інтегральну суму зробити за модулем більшою будь-якого наперед заданого додатнього числа, а тому інтегральні суми не будуть мати скінченої границі, коли . За умовою , що означає існування скінченої границі. Одержали протиріччя.

Наслідок. Якщо визначена і необмежена на , то вона неінтегруєма за Ріманом на .

Наприклад,

необмежена на , а тому неінтегруєма на .

Наступний приклад показує, що обмежена функція може бути неінтегруємою за Ріманом на .

Приклад 2.1. Нехай

де множина раціональних чисел, .

У будь-якому відрізку є як раціональні, так і ірраціональні точки. Виберемо спочатку всі , а тому

.

Якщо тепер взяти всі , то і

.

А тому не існує границі множини інтегральних сум, коли .

Зрозуміло, що функція (функція Діріхле) неінтегруєма на , але обмежена.

Без доведення відмітимо достатню умову існування визначеного інтеграла від обмеженої функції : якщо така, що для будь-якого можливо вказати скінчену кількість інтервалів, які покривають множину точок розриву цієї функції, і сума довжин цих інтервалів дорівнює , то функція інтегруєма на .

Тоді зрозуміло, що:

1. Обмежена і неперервна функція всюди на за виключенням скінченої кількості точок (точок розриву), інтегруєма на .

2. Обмежена і монотонна функція інтегруєма на .

3. Якщо обмежені функції та такі, що , за виключенням скінченої кількості точок, і функція , то і

.

Приклад 2.2.

Функція .

Приклад 2.3. Функція

інтегруєма на . Точки розриву цієї функції

Для будь-якого на існує нескінчена кількість точок розриву, а зовні його  скінчена, нехай їх кількість дорівнює . Кожну з них можна накрити інтервалом довжиною , а тому всі точки розриву на можна накрити інтервалами, сума довжин яких

.