Теплопроводность диэлектриков и металлов

В общем случае в твердых телах имеют место два основных механизма переноса тепла: перенос тепловой энергии свободными электронами и атомными колебаниями. В диэлектриках распространение тепла осуществляется атомными колебаниями, так как в них нет свободных электронов, в металлах действуют оба механизма.

Рис. 1

Т ипичная зависимость теплопроводности диэлектриков от температуры представлена на рис. 1.

Тепловые свойства твердых тел описываются колебаниями сильно связанных между собой атомов кристаллической решетки. Однако подобные колебания можно свести к совокупности слабосвязанных волн с волновым вектором и частотой , распространяющихся во всем объеме кристалла. Каждой волне соответствует осциллятор, колеблющийся с частотой , а звуковую волну с волновым вектором и поляризацией S можно рассматривать как совокупность квантов с энергией . Эти кванты звуковой волны называются фононами.

Воспользуемся выражением для λ, полученным в кинетической теории газов, предполагая, что вместо движения молекул имеет место движение фононов:

,

где C_V – теплоемкость, – средняя скорость фононов, приблизительно равная скорости звука в кристалле, которую можно считать слабо зависящей от температуры; – средняя длина свободного пробега фононов; τ – эффективное время релаксации.

При высоких T >> θ_D C_V = const (закон Дюлонга–Пти) и частота столкновений фононов (τ^–1) будет расти пропорционально T, т. е.

и .

С понижением T C_V будет уменьшаться согласно закону Дебая (T ³), но уменьшение числа фононов, пропорциональное , приведет соответственно к увеличению длины свободного пробега фононов:

и .

При приближении к абсолютному нулю длина свободного пробега фононов становится сравнимой с размерами образца и не зависит от температуры, а коэффициент теплопроводности будет спадать до нуля, как C_V, т. е. по закону T ³.

Типичная зависимость теплопроводности металлов представлена на рис. 2. Теплопроводность металлов, в общем случае, складывается из теплопроводности, обусловленной фононами и свободными электронами. Оценим вклад обоих механизмов:

,

,

где U_F – скорость, соответствующая энергии Ферми (E_F).

Известно, что λ_ph = 3 ∙10^–6 см; U_s ≈ 10⁵ см/с; C_V = 3R; = 10^–5 см; U_F = 10⁸ см/с; . Отношение

показывает, что вклад электронов в теплопроводность металлов оказывается определяющим.

Для качественной оценки поведения теплопроводности металлов в зависимости от температуры снова воспользуемся формулой (10).

,

,

где n – концентрация электронов; E_F – энергия Ферми.

Тогда формула для λ_el перепишется в виде:

.

В формуле (13) от температуры зависит только , которая определяется рассеянием электронов на фононах. Процесс рассеяния сводится к тому, что электрон испускает или поглощает фононы. При высоких температурах kT >> полная вероятность процесса рассеяния пропорциональна , тогда . Число фононов , следовательно K_el = const и не зависит от температуры. При низких температурах kT << наибольшую роль в рассеянии электронов играют фононы с :

,

а теплопроводность будет возрастать с понижением температуры, как . При температурах вблизи абсолютного нуля не зависит от температуры, а определяется дефектами решетки, и теплопроводность будет пропорциональна теплоемкости электронного газа, т. е. T.