Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

3. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

4. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

5. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

6. При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

7. Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

8. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1-7 решить системы уравнений:

1. EMBED Equation.3 . 2. EMBED Equation.3 .

3. EMBED Equation.3 .4. EMBED Equation.3 .

5. EMBED Equation.3 . 6. EMBED Equation.3

7. EMBED Equation.3

8.Найти сумму матриц

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

9. Найти матрицу 2А+5В, если

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

10. .Найти значение матричного многочлена 2А²+3А+5Е при EMBED Equation.3 , если Е –единичная матрица третьего порядка.

11. Найти матрицу АВ, если EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , В= EMBED Equation.3 .

12. Дана матрица EMBED Equation.3 . Найти матрицу EMBED Equation.3 .

Ответы: 1. (1;-2;1). 2. (3;4;-1). 3. ( 1+t; -2+3t; 4-t; t ).

4. ( -1+2t; 2-t; 3+t; t ). 5. ( 0; 0; 0 ). 6. ( 1 ;5 ;2 ). 7. ( 1; 2; 3; 4 ). 8. EMBED Equation.3 . 9. EMBED Equation.3

10. EMBED Equation.3 . 11. АВ= EMBED Equation.3 . 12. EMBED Equation.3

Занятие 3. Ранг матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы

3.1. Вычисление ранга матрицы

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов

А = EMBED Equation.3 .

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.

max k = min(m,n)

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.

Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы .

Для вычисления ранга матрицы приведем ее к ступенчатому виду: Будем изменять матрицу А размера m´n так, чтобы сохранялся ее ранг. В результате матрица приводится к виду:

	EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . (3.1)
m-r{