- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
14.5. Угол между двумя прямыми.
.Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом у = k1х+ b1 и у = k2x + b2; и EMBED Equation.3 = - угол между прямыми. Тогда
EMBED Equation.3 (14.9)
Прямые параллельны, если EMBED Equation.3 = 0, и условие параллельности
EMBED Equation.3 (14.10)
Условие перпендикулярности – это условие того, что tgj не существует, т.е. 1 + EMBED Equation.3 = 0, отсюда условие перпендикулярности
EMBED Equation.3 (14.11)
Пример 14.6. Определить угол между прямыми
у=2x+5 и у=-3х+1:
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3
Решение. 1) В формуле EMBED Equation.3 принимаем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 , т. e EMBED Equation.3 .
.2) Здесь EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Так как EMBED Equation.3 , то прямые перпендикулярны.
Пример. 14.7. Даны уравнения высот треугольника АВС: x+y -2 = 0; 9x - 3y-4=0 и координаты вершины A(2; 2). Составить уравнения сторон треугольника.
Решение. Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из заданных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.
Пусть 9x – 3у – 4 = 0 - уравнение высоты ВВ1 и x+y -2=0 - уравнение высоты СС1. Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную высоте ВВ1. Так как угловой коэффициент высоты ВВ1 равен 3, то угловой коэффициент стороны АС равен -1/3, т. е. kAC=-1/3 . Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент, получим уравнение стороны АC: y-2=-1/3(x-2), или x + 3y – 8 = 0. Аналогично получаем k EMBED Equation.3 , kAB=1 и сторона АВ определится уравнением у – 2 = x - 2, т. е. у = х. Решив совместно уравнения прямых АВ и ВВ1 а также прямых АС и СС1, найдем координаты вершин треугольника В и С: В(2/3;2/3) и С(-1;3). Остается составить уравнение стороны ВС:
EMBED Equation.3 , т.е.7x + 5y – 8 = 0.
Вопросы для самопроверки
Как записывается общее уравнение прямой на плоскости?
Как записываются параметрические уравнения прямой на плоскости?
Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?
Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости?
Как вычисляются углы между двумя прямыми на плоскости? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?
Задачи для самостоятельного решения
1. Дано уравнение прямой EMBED Equation.3 .
Написать: а) общее уравнение этой прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение в отрезках; г) нормальное уравнение.
Ответ: а) EMBED Equation.3 ; б) EMBED Equation.3 ; в) EMBED Equation.3 ; г) EMBED Equation.3
2. Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8.
Ответ. х + y - 4 = 0.
3. Даны вершины треугольника АВС : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ. EMBED Equation.3 .
4. Даны стороны треугольника: EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 . Составить уравнения его высот.
Ответ. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
5. Даны вершины треугольника EMBED Equation.3 Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В ,и высоты, опущенной из вершины С . Вычислить площадь треугольника.
Ответ. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 кв.ед.
6. Даны вершины треугольника АВС: А(0;2), B(7;3) и С(1;6). Определить ВАС=.
Ответ. EMBED Equation.3
7. Даны стороны треугольника x + y - 6=0, 3x - 5y+14=0 и 5x -3y -14=0. Составить уравнения высот треугольника.
Ответ. x-y = 0, 5x +3y -26 = 0, 3x +5y – 26 = 0.
8.. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми 3x +4y – 20 = 0 и 8x+6y + 35 = 0.
Ответ. 14x +14y – 45 = 0, 2x - 2y + 35 = 0.
9. Даны вершины треугольника: А(0;0), В(-1;-3) и С(-5;-1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам треугольника.
Ответ. 3x – y +14 = 0, x - 5y -14 = 0, x +2y = 0
10. Определить расстояние от точки М(2;-1)до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а =8, b=6.
Ответ. 4,4.
11. Найти длину высоты треугольника с вершинами A(3/2;1), B(1;5/3), С(3;3), проведенной из вершины С.
Ответ. 2,4.
12. Даны середины сторон треугольника: A1(-1;-1), B1(1;9), C1(9;1). Составить уравнения перпендикуляров к сторонам, проходящих через середины соответствующих сторон треугольника.
Ответ. х –y = 0, x + 5y – 14 = 0, 5x +y – 14 = 0.
13. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки:
А(2; EMBED Equation.3 ) и B(3; EMBED Equation.3 ).
Ответ. EMBED Equation.3
14. Точки А(1;2) и С(3;6) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.
Ответ. (0;5) и (4;3).
15. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x +2y +3 = 0, 2x +3y +4 = 0 и параллельную прямой
5x +8y = 0.
Ответ. 5х +8у +11 = 0.
16. Показать, что треугольник со сторонами х +y EMBED Equation.3 +1=0, x EMBED Equation.3 + y+1 = 0 и x –y -10 = 0 равнобедренный. Найти угол при вершине треугольника.
Ответ. 30°.
17. Дана вершина треугольника A(3;9) и уравнения медиан: у – 6 = 0 и 3х - 4y +9 = 0. Найти координаты двух других вершин.
Ответ. В(1;3), С(11;6).
18. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой
4x +3y -12 = 0, концы которого лежат на осях координат.
Ответ. 3х - 4у -9 = 0, 3х - 4у +16 = 0, 4x +3y -37 = 0 или
4х +3у +13 = 0.
Занятие 15. Кривые второго порядка: окружность, эллипс
15.1. Окружность.
Окружность-это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра) . Если r-радиус окружности, а точка С(a; b)-ее центр то уравнение окружности имеет вид
(x-a)²+(y-b)²= r². (15.1)
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение примет вид
x² + y² = r² .
Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены x² и y² с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением x на y.
Пример 15.1. Найти координаты центра и радиус окружности 2x² + 2y² - 8х- 5у-4=0.
Решение. Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим EMBED Equation.3 . Дополним x² -4х и y²+ EMBED Equation.3 до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму EMBED Equation.3 (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):
EMBED Equation.3
или
EMBED Equation.3
Таким образом, координаты центра окружности а = 2,
b= -5/4 и радиус окружности r =11/4.
Пример 15.2. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданны уравнениями.
9х -2у – 41 = 0, 7х +4у + 7 = 0, х -3у +1= 0.
Решение. Найдём координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений:
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
3) EMBED Equation.3
Получим А(3,-7), В(5,2), С(-1,0).
Пусть искомое уравнение окружности имеет вид
(x - а)²+(y - b)²=r². Для нахождения a, b, r напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек А, В, С:
EMBED Equation.DSMT4
Исключая r², приходим к системе уравнений:
EMBED Equation.DSMT4
Или 4а + 18 b = -29 и 8а – 14b=57. Отсюда, а=3,1, b = -2,3. Значение r² находим из уравнения (-1 - а) 2+b2 = r², т.е. r²=22,1; уравнение искомой окружности (х-3,1)2 +(у+2,3) 2 =22,1.
Пример 15.3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5,0) и В(1,4), если центр её лежит на прямой х +у – 3 = 0.
Решение. Найдём координаты точки М – середины хорды АВ:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , т.е. середина хорды АВ – точка М(3,2). Центр окружности должен находиться на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды, поэтому уравнение этого перпендикуляра можно записать в виде:
у – 2 = k (х -3), где угловой коэффициент k найдётся из условия перпендикулярности с прямой АВ, уравнение которой EMBED Equation.3 или х + у -5 = 0.
Следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра k=1, а уравнение этого перпендикуляра у -2 = 1(х -3), или
х – у -1 = 0.
Центр окружности С лежит на пересечении данной прямой с перпендикуляром, т.е. координаты центра определяются из решения системы уравнений х + у – 3 = 0 и х – у -1 = 0. Отсюда х =2, у =1, т.е. С(2,1).
Радиус окружности равен длине отрезка СА, т.е. EMBED Equation.3 . Итак, уравнение окружности
(х-2) 2+ (у -1) 2 = 10.