12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М1(х1, y1, z1) и М2(х2, y2, z2) имеет вид
EMBED
Equation.3
,
(12.3)
где
направляющий вектор EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
.
Пример 12.2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки EMBED Equation.3 (1,-2,1) и EMBED Equation.3 (3,1,-1)
Решение. Применяя формулу (3.3), имеем
EMBED
Equation.3
.
Тогда канонические уравнения прямой
имеют вид EMBED Equation.3
.
12.3. Параметрические уравнения прямой.
Параметрические
уравнения прямой получается из
канонических уравнений (12.2).Примем за
параметр EMBED Equation.3
каждое из соотношений (12.2), -¥<
t
<+¥
; таким образом получим
EMBED Equation.3
,
следовательно x– х1 =lt; y – y1= mt; z - z1= nt,
x
=x1
+lt,
y = y1 +mt, (12.4)
z = z1 + nt
- параметрические уравнения прямой.
Пример
12.3. Составить
параметрические уравнения прямой
EMBED Equation.3
Решение. Найдем координаты точки, лежащей на прямой. Положим EMBED Equation.3 .Тогда система уравнений примет вид
EMBED
Equation.3
Решая
эту систему, получим EMBED Equation.3
.
Следовательно,
на прямой фиксирована точка EMBED Equation.3
.
Найдем координаты направляющего вектора прямой
EMBED
Equation.3
Тогда параметрические уравнения прямой примут вид
EMBED
Equation.3
12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Определение
угла между прямыми сводится к определению
угла между их направляющими векторами
EMBED Equation.3
;
EMBED Equation.3
.
Из определения скалярного произведения имеем:
EMBED Equation.3
(12.5)
Условие
параллельности прямых эквивалентно
условию коллинеарности их направляющих
векторов EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
:
EMBED Equation.3
(12.6)
Условие перпендикулярности: ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) = 0:
l1l2 + m1m2 +n1n2 = 0 (12.7)
Пример
12.4 . Найти
угол между прямой, проходящей через две
точки EMBED Equation.3
и прямой
EMBED Equation.3
.
Решение.
Координаты направляющего вектора первой
прямой EMBED Equation.3
.
Для второй прямой направляющим является
вектор EMBED Equation.3
.
Угол между направляющими векторами
вычислим, используя формулу (12.5),
EMBED
Equation.3
EMBED Equation.3
.
Вопросы для самопроверки
Как записывается общее уравнение прямой в пространстве?
Как записываются параметрические уравнения прямой в пространстве?
Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?
Как вычисляются углы между двумя прямыми в пространстве?
Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве?
Задачи для самостоятельного решения
1.Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых в пространстве
1)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
2)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
3)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
4)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
Ответ. 1) совпадают; 2) параллельны; 3) скрещиваются; 4) пересекаются.
2.
Составить параметрические уравнения
прямой: EMBED Equation.3
Ответ.
EMBED Equation.3
3.
Написать параметрические уравнения
прямой, проведенной через начало
координат перпендикулярно плоскости
EMBED Equation.3
Ответ.
EMBED Equation.3
4.
Составить канонические уравнения
прямой, проходящей через точку М1(2;
0 -3) параллельно: 1) вектору EMBED Equation.DSMT4
2) прямой EMBED Equation.DSMT4
3)
оси Ох; 4)
оси Оу; 5)
оси Оz.
Ответ.1)
EMBED Equation.DSMT4
2)
EMBED Equation.DSMT4
3)
EMBED Equation.DSMT4
4) EMBED Equation.DSMT4
5) EMBED Equation.DSMT4
5.
Через точки EMBED Equation.DSMT4
и EMBED Equation.DSMT4
проведена
прямая. Определить точки пересечения
этой прямой с координатными плоскостями.
Ответ.
EMBED Equation.DSMT4
,
EMBED Equation.DSMT4
,
EMBED Equation.DSMT4
.
6. Даны вершины треугольника А( 3; 6; -7), В (-5; 2; 3) и С (4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.
Ответ.
EMBED Equation.DSMT4
7. Даны вершины треугольника А( 2; -1; -3), В (5; 2; -7) и С (-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
Ответ.
EMBED Equation.DSMT4
8. Даны вершины треугольника А( 1; -2; -4), В (3; 1; -3) и С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
Ответ.
EMBED
Equation.DSMT4
9. Составить канонические уравнения следующих прямых:
1)
EMBED Equation.DSMT4
2) EMBED Equation.DSMT4
Ответ.
1) EMBED
Equation.DSMT4
2)
EMBED Equation.DSMT4
10. Доказать параллельность прямых:
1)
EMBED Equation.DSMT4
и EMBED Equation.DSMT4
2)
EMBED Equation.DSMT4
и
EMBED
Equation.DSMT4
11. Доказать перпендикулярность прямых:
1)
EMBED Equation.DSMT4
и EMBED Equation.DSMT4
2)
EMBED Equation.DSMT4
и
EMBED Equation.DSMT4
12. Найти тупой угол между прямыми
EMBED
Equation.DSMT4
и EMBED Equation.DSMT4
.
Ответ.135°
13. Даны прямые
EMBED Equation.DSMT4
и EMBED Equation.DSMT4
;
при каком значении m они пересекаются?
Ответ. m = 3.
14. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М( -4; -5; 3) и пересекает две прямые
EMBED Equation.DSMT4
,
EMBED Equation.DSMT4
.
Ответ.
EMBED
Equation.DSMT4
Занятие 13.Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой