Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителя?

2.. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры.

3. Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры.

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1- 8 вычислить определители:

1. . 2. . 3. .

4. 5. 6.

7. 8.

9. Доказать справедливость равенств:

1) ;

2)

10. Решить уравнения:

1) 2)

11. Решить неравенства:

1) 2)

Ответы: 1. -4. 2. 180. 3. 87. 4. 0. 5. . 6. .

7. xyz(x-y)(y-z)(z-x). 8. (a+b+c)( .

10. 1) х=-3; 2)

Занятие 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Действия над матрицами

2.1. Определения

Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) имеет вид

(2.1)

Здесь и -произвольные числа (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (2.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного .

Решением системы уравнений (2.1) называется набор n чисел , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Системы уравнений (2.1) называются совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (2.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. вычеркивание уравнения -нулевой строки;

2. перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях

3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

2.2. Решение систем линейных уравнений

по формулам Крамера

Рассмотрим частный случай системы (4.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m=n. Система уравнений имеет вид

(2.2)

Составим квадратную матрицу А 3-го порядка этой системы:

(2.3)

Составим определитель матрицы системы А:

, (2.4)

который называется также определителем системы.

Теорема. (теорема Крамера). Пусть - определитель матрицы системы А, а -определитель полученный из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда:

1) если , система линейных уравнений (2.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам

(2.5)

2) если и все , то система имеет бесчисленное множество решений;

3) если и хотя бы один из дополнительных определителей , то система решений не имеет.

Формулы вычисления неизвестных (2.5) – решения системы (2.2) –носят название формул Крамера.

Пример 2.1. Найти решение системы уравнений

Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы:

= =

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Определитель системы: отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляем определители: ; ; :

Тогда: , , .