Вопросы для самопроверки

1. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства?

2. Как смешанное произведение выражается через координаты векторов-сомножителей?

3.Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить, какой является тройка EMBED Equation.3 (правой или левой), если

1) EMBED Equation.DSMT4 ; 2) EMBED Equation.DSMT4

3) EMBED Equation.DSMT4 .

2. Векторы EMBED Equation.3 , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что EMBED Equation.DSMT4 , вычислить EMBED Equation.3 .

3. Даны векторы EMBED Equation.DSMT4 { 1; -1; 3}, EMBED Equation.DSMT4 {-2; 2; 1}, EMBED Equation.DSMT4 { 3; -2; 5}. Вычислить EMBED Equation.3 .

4. Установить компланарны ли векторы EMBED Equation.3 , если

1) EMBED Equation.DSMT4 { 2; 3; -1}, EMBED Equation.DSMT4 {1; -1; 3}, EMBED Equation.DSMT4 { 1; 9; 11};

2) EMBED Equation.DSMT4 {3; -2; 1}, EMBED Equation.DSMT4 {2; 1; 2}, EMBED Equation.DSMT4 { 3; -1; -2};

3) EMBED Equation.DSMT4 {2; -1; 2}, EMBED Equation.DSMT4 {1; 2; -3}, EMBED Equation.DSMT4 { 3; -4; 7}.

5. Доказать, что точки A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

6. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах EMBED Equation.3 .

7. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A (5, 2, 2), B(-8, -2, 5), C(6, 3, 0), D(9, 3,2).

8.­ Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -1),

D (4; 1; 3).

9. Даны вершины тетраэдра A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

10. Объем тетраэдра v = 5, три его вершины находятся в точках A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.

Ответы: 1. 1) Правая; 2) левая; 3) левая. 2. EMBED Equation.3 = 24.

3. EMBED Equation.3 = 0,5. 4. 1) Компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны. 6. 43. 7. 0,5. 8. 3. 9. 11. 10. EMBED Equation.DSMT4

Занятие 10. Плоскость

10.1. Общее уравнение плоскости.

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система EMBED Equation.3 , то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z определяет относительно этой системы плоскость.

Уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0 (10.1)

с произвольными коэффициентами А, В, С, D такими, что из коэффициентов А, В, С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Пусть уравнение (10.1) имеет хотя бы одно решение х₀,у₀,z₀, т.е. существует точка М₀(х₀,у₀,z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению Ах₀ +Ву₀ +Сz₀ +D = 0.

Вычитая это уравнение из (1.1) получим

А(х – х₀) + В(у –у₀) +С(z – z₀) = 0 . (10.2)

Это уравнение определяет плоскость, проходящую через EMBED Equation.3 (х₀,у₀,z₀) перпендикулярно EMBED Equation.3 .

Вектор EMBED Equation.3 перпендикулярен плоскости и называется нормальным вектором плоскости.

Если EMBED Equation.3 = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Уравнение (10.1) – полное уравнение. Если один из коэффициентов равен нулю, то получим неполное уравнение.

A=0; плоскость параллельна оси Ох;

B=0; плоскость параллельна оси Оу;

С=0: плоскость параллельна оси Оz;

D=0; плоскость проходит через начало координат;

A=B=0; плоскость перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости Оху);

A=С = 0; плоскость перпендикулярна оси Оу (параллельна плоскости Оху );

В=С = 0; плоскость перпендикулярна оси Ох (параллельна плоскости- Оху );

A=D=0; плоскость проходит через ось Ох;

В=D=0; плоскость проходит через ось Оу;

С=D=0; плоскость проходит через ось Оz;

A=B=D=0; плоскость совпадает с плоскостью Оху (z=0);

A = C=D = 0; плоскость совпадает с плоскостью Оху (у=0);

B = C = D=0; плоскость совпадает с плоскостью Оху (х=0).