Практичне заняття №1 спектри періодичних сигналів

1.1 Мета заняття

Метою заняття є вивчення студентами методів спектрального аналізу періодичних сигналів.

1.2 Методичні вказівки для самостійної підготовки до заняття [1,3-5].

Спектральний метод передбачає опис сигналу у вигляді суми (інтегралу) гармонійних коливань (гармонік).

Сукупність усіх гармонійних складових сигналу називається спектром сигналу.

Сигнал , який представлено у вигляді суми гармонік, може бути записаний наступним чином:

(1.1)

У цій аналітичній формі запису сигнал представлено сумою речовинних гармонічних складових. Спектр сигналу (1.1) дискретний.

Рис.1.1,а відображує амплітудно-частотний спектр (АЧС) сигналу (1.1), тобто залежність амплітуд комплексного дискретного спектра від частоти. Рис.1.1,б відображує фазочастотний спектр (ФЧС) сигналу (1.1), тобто залежність початкових фаз складових комплексного дискретного спектра від частоти.

а)

б)

Рисунок 1.1 - АЧС і ФЧС сигналу

Кожну з речовинних гармонік спектра можна представити в різних комплексних формах запису.

Речовинна гармоніка може, зокрема, розглядатися як речовинна частина комплексної величини:

(1.2)

Комплексна величина відповідає вектору довжиною з початковою фазою , який обертається з кутовою швидкістю

Речовинна гармоніка визначається в будь-який момент часу як проекція цього вектору на вісь абсцис (рис.1.2).

Речовинну гармоніку можна записати у вигляді суми двох комплексних гармонік:

(1.3)

де - величина, комплексно-сполучена до .

На комплексній площині такий запис відповідає двом векторам довжиною з початковою фазою . Вектори обертаються в різні сторони з кутовою швидкістю . Речовинна гармоніка визначається в будь-який момент часу як сума двох векторів (рис.1.3).

Рисунок 1.2 - Речовинна гармоніка	Рисунок 1.3 - Речовинна гармоніка як сума двох комплексно-сполучених векторів

Графічне зображення спектру може відповідати різним формам його запису. На рис.1.4 показано одну з гармонік, причому рис.1.4,а відповідає речовинній формі запису, а рис.1.4,б – комплексній формі. У речовинній формі кожна складова спектра зображується у вигляді однієї лінії на частоті . У комплексній формі кожна складова відповідає парі ліній на частотах . Графік АЧС є парною функцією частоти, а графік ФЧС - непарною.

Для переходу від зображення речовинних гармонік до комплексних гармонік всі амплітуди зменшуються у два рази та відображуються для відповідних позитивних і негативних частот. Постійна складова спектра при переході від однієї форми до іншої не змінюється. Початкові фази в області негативних частот змінюють знак.

а)	б)
Рисунок 1.4 - Форми графічного зображення складових комплексного спектру

Для спектрального аналізу сигналів використовуються:

• тригонометричні перетворення;

• ряд Фур'є;

• інтеграл Фур'є.

Для спектрального аналізу періодичних сигналів використовується ряд Фур'є.

Періодичним сигналом будемо називати сигнал, для якого є чинним рівняння:

(1.4)

де: n - цілі числа від - ∞ до + ∞;

T - період повторення функції.

Найпростіший приклад періодичної функції - меандр:

Рисунок 1.5 - Періодичний сигнал „меандр”

При спектральному аналізі періодичних сигналів мається на увазі, що сигнал існує в часі від -∞ до +∞.

Ряд Фур'є можна записати у наступній формі:

(1.5)

де - частота першої гармоніки;

- комплексні амплітуди (комплексний спектр) комплексної форми запису ряду Фур'є:

;

;

;

.

Таким чином, періодичну функцію можна представити у вигляді суми:

- постійного члена (середнього значення функції );

- деякої множини синусоїдальних членів з частотами (основної частоти), ( 2-ї гармоніки), ( 3-ї гармоніки), …

-та гармоніка має частоту , кругову частоту , амплітуду та фазу .

Приклад 1.1. Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності прямокутних імпульсів тривалістю τ, що мають амплітуду U₀ та період T (рис. 1.6).

Рисунок 1.6 - Періодична послідовність прямокутних імпульсів

де .

Відомо, що , тоді амплітудно-частотний спектр дорівнює

або

,

де .

Позитивним значенням відповідають нульові початкові фази, негативним – початкові фази, рівні , тому що . Графіки амплітудно- і фазочастотного спектрів наведено на рис.1.7.

Огинаюча АЧС (показана на рис.1.7 пунктирною лінією) змінюється за законом . Гармоніки мають частоти (постійна складова) . Коли номер гармоніки стає кратним шпаруватості , і амплітуди відповідних гармонік обертаються в нуль. Це відбувається на частотах . Рис. 1.7 відповідає випадку, коли , тому гармонічні складові з номерами мають нульові амплітуди.

Рисунок 1.7 - Спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Від амплітудно- і фазочастотних спектрів комплексних гармонік ряду Фур'є можна перейти до речовинної форми запису ряду Фур'є. Для цього досить подвоїти всі амплітуди гармонік (крім постійної складової). Спектр буде містити складові лише з позитивними (тобто реально існуючими) частотами. Речовинні амплітудно- і фазочастотний спектри представлено на рис.1.8.

Рисунок 1.8 - Речовинні амплітудно- і фазочастотний спектри

Переходячи від комплексної форми запису ряду до речовинної, отримуємо наступну аналітичну форму запису для спектра періодичної послідовності прямокутних імпульсів:

,

де при й при .

З урахуванням перших п'яти гармонік для отримуємо:

а)	б)
в)	г)
Рисунок 1.9 - Відновлений сигнал

Приклад 1.2. Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності пилкоподібних імпульсів, тривалістю , амплітудою U₀ і періодом T (рис. 1.10):

Рисунок 1.10 - Періодична послідовність пилкоподібних імпульсів

Пилкоподібний сигнал (рис. 1.10) є парною функцією, тому розкладаючи його до ряду Фур'є отримуємо:

;
;

Таким чином, маємо:

.

Остаточно можемо записати:

.

Спектр цього сигналу є речовинним і позитивним при будь-яких значеннях , тобто на будь-якій частоті. Таким чином, фазочастотний спектр має значення . Амплітудно-частотний спектр наведено на рис.1.11.

Рисунок 1.11 - Амплітудно-частотний спектр послідовності пилкоподібних імпульсів

При урахуванні перших п'яти гармонік для отримуємо:

а)	б)
Рисунок 1.12 - Відновлений сигнал

Приклад 1.3. Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності косинусоїдальних імпульсів (рис. 1.13):

а)

б)

Рисунок 1.13 - Періодична послідовність косинусоїдальних імпульсів

Комплексна амплітуда дорівнює

При ( ) отримаємо:

Очевидно, що

тому можемо записати:

З урахуванням (1.5) отримуємо:

де при непарних ( ) і при парних ( ), отже, , тому можемо записати:

.

АЧС і ФЧС показано на рис.1.14.

При урахуванні перших п'яти гармонік отримаємо:

Рисунок 1.14 - АЧС і ФЧС послідовності косинусоїдальних імпульсів

а)	б)
Рис.1.15 Відновлений сигнал

При ( ) отримаємо

Тому що

то можемо записати:

.

Таким чином, спектр амплітуд містить тільки парні гармоніки:

.

Використовуючи (1.5) можемо записати:

де при непарних ( ) і при парних ( ), отже, , тому можемо записати:

.