5. Приложение 1. Пример использования различных кинематических параметров

Р

Рис. 8 Кинематическая схема робота - манипулятора PUMA-260

ешается прямая задача кинематики о положении манипулятора на примере робота-манипулятора PUMA-260 [1], кинематическая схема которого представлена на рис. 8 (в рассмотрение взяты три вращательные кинематические пары).

5.1. Матрицы направляющих косинусов

Матрицы перехода от одного звена манипулятора к другому составляются в соответствии с элементарными поворотами при совмещении и систем координат.

Таким образом, смещение системы координат в осуществляется с помощью двух поворотов:

1. поворот на вокруг оси (матрица ),

2. поворот на вокруг оси (матрица ).

Результирующая матрица перехода от одной системы координат к другой имеет вид:

, где
, ,

откуда

.

(41)

Совместим теперь систему координат с , вращая первую систему координат вокруг оси на угол (матрица )

.

(42)

И таким же образом получим матрицу перехода от системы координат и , повернув систему координат :

1) вокруг оси на (матрица ),

2) вокруг оси на (матрица ).

Матрицы элементарных поворотов и имеют вид, матриц поворотов, составленных при переходе от основания к первому звену манипулятора. То есть, можно записать, что результирующая матрица перехода определяется как

(43)

После получения всех трех матриц , и , последовательно перемножая их, получим в результате будем иметь матрицу, связывающую систему координат основания с системой координат последнего звена манипулятора .

,

После тригонометрических преобразований получим

.

(44)

5.2. Кватернионы (кватернионные матрицы)

Решим ту же задачу, используя аппарат кватернионов. Здесь каждый плоский поворот при вращении систем координат будет описываться кватернионом вращения , где - единичный вектор оси вращения, - угол поворота. Таким образом, получим ряд кватернионов, соответствующих переходу от одного звена манипулятора к другому. А именно - при переходе от системы координат к получим два кватерниона:

1) - кватернион поворота вокруг оси на ,

2) - кватернион поворота вокруг оси на .

Результирующий кватернион получаем путем перемножения кватернионов и , в соответствии с правилами кватернионного произведения

(45)

Совмещение системы координат с происходит при повороте вокруг оси на угол . Кватернион вращения в этом случае имеет вид

.

(46)

Кватернион , определяющий переход от системы координат к , аналогичен кватерниону

(47)

Полученные кватернионы (45) - (47) перемножим между собой.

Результирующий кватернион вращения, связывающий основание и последнее звено манипулятора, имеет вид:

,

Группируя между собой элементы, и используя тригонометрические тождества, в результате получим:

,

(48)

где компоненты кватерниона имеют вид (49):

(49)

Кватерниону поворота можно поставить в соответствие кватернионную матрицу размерностью 44, составленную из параметров Родрига - Гамильтона, составляющих кватерниона, вида:

,

(50)

а операция перемножения кватернионов будет соответствовать перемножению матриц, составленных из компонент соответствующих кватернионов поворотов. Тогда для ранее полученных при описании движения манипулятора кватернионов можно составить следующие кватернионные матрицы.

Переход  описывается матрицами вида

, .

(51)

Переход  - матрицей

,

(52)

Переход  - матрицами (53). Результирующую матрицу получим при перемножении матриц перехода (51) - (53). И в результате, матрица перехода от основания к захвату имеет вид (54).

, .	(53)
.	(54)