§9. Общие понятия, определения и свойства линейных дифференциальных уравнений

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

(1)

где функции непрерывны на интервале , причем при .

Мы будем рассматривать уравнения в канонической форме, где (для этого достаточно обе части уравнения (1) разделить на ).

Если тождественно не равна нулю при , то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением. Если же при , то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. При этом уравнение

(2)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1) (заметим, что в (1) мы считаем, что ).

В силу теоремы существования и единственности, решение задачи Коши для уравнения (1) существует на всем интервале и единственно.

Для краткости записи обозначим левую часть уравнения (1) через . Тогда уравнение (1) кратко запишется в виде

.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

(2)

Нетрудно показать, что если

есть решения уравнения (2), то и любая их линейная комбинация

где произвольные постоянные, является решением уравнения (2).

Введем понятие линейной зависимости функций. Функции называются линейно зависимыми на , если существуют такие числа

, не все равные нулю, что

(3)

при всех Если же тождество (3) имеет место лишь при , то функции

называются линейно зависимыми на

Замечание. Для линейной независимости двух функций

и на необходимо и достаточно, чтобы их отношение на

Для линейной независимости функций , непрерывных вместе со своими производными до (m-1)-го порядка включительно достаточно, чтобы определитель Вронского (вронскиан) системы функций

не был равен нулю хотя бы в одной точке интервала

. Если же функции являются решениями уравнения (2), то это условие является и необходимым.

У линейного однородного уравнения n-го порядка (2) всегда существует система из n линейно независимых решений , называемых фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (2). Общее решение линейного однородного уравнения (2) имеет вид

где - произвольные постоянные, а

- ФСР уравнения (2).

Для вронскиана решений линейного однородного уравнения (2) имеет место формула Остроградского-

Лиувилля

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения n-го порядка

(3)

находится по формуле

,

где - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, а - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (1).

Если известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то частное решение может быть найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Сущность метода состоит в следующем. Частное решение ищется в виде

, (4)

где функции определяются из системы уравнений

(5)

Относительно система (5) является системой n линейных неоднородных уравнений, причем определитель матрицы системы есть

при . Поэтому система (5) имеет единственное решение

Откуда

где - произвольные постоянные (которые можно положить равными нулю).

Частное решение можно находить и методом суперпозиции, состоящем в том, что если является частным решением линейного неоднородного уравнения

то функция

Является частным решением линейного неоднородного уравнения

.