Глава 4. Решение теоретических проблем экспертных систем

4.1. Проблема выводимости

4.1.1. Классификация методов представления

Доказательство общезначимости (противоречивости) при решении проблемы выводимости в любом методе базируется на двоичном семантическом дереве (рис. 4.1). При построении дерева используются правила.

1. Каждая дуга/узел помечена литералом - предикатом или его отрицанием.

2. Из одного узла выходят две дуги, помеченные литералами.

3. Никакая ветвь не содержит двух противоположных литералов.

4. Никакая ветвь не содержит более одного вхождения одного литерала.

Если множество формул конечно, то соответствующее им семантическое дерево конечно. Каждому его узлу соответствует частичная интерпретация, сопоставляюшая истинностные значения некоторым элементам.

.Конечное семантическое дерево полно, если каждый его лист, т.е. конечная висячая вершина, соответствует некоторой всюду определенной интерпретации.

Формула является выполнимой, если, по крайней мере, для одного из листьев семантического дерева получено значение «истина». Следовательно, алгоритм выполнимости формул и выводимости результата является переборным и решеает задачу для конечного семантического дерева.

Если в предикатах используются кванторы и функции, то семантическое дерево может быть бесконечным. Тогда требуется доказать: если некоторые свойства справедливы на части дерева, то они справедливы и на всем дереве.

Для решения проблемы выводимости сформулированы методы представления (рис. 4.2).

4.1.2. Методы Куайна, редукции, Эрбрана

Метод Куайна. Пусть имеется некоторая система предикатов S, в состав которой входит предикат P. Разделим систему на три части: S_p – содержит литерал p, - содержит литерал , S^// не содержит названных литералов.

Используется следующее правило. Если S^// - пусто, то цель p достижима в S. Если S^// содержит пустой дизъюнкт, то цель p не достижима.

Если цель содержит несколько предикатов, то литерал p исключается и данная процедура повторяется.

Метод может быть использован для небольшого множества S, при этом функции не могут быть использованы.

Метод редукции. Метод заключается в разделении целого множества на части и доказательство равенства соответствующих частей. Покажем это на примере.

Воспользуемся формулой (3.4) – общий результат ложен. Далее порознь анализируются выражения 1 и 2.

Выражение 1 должно быть истинно, а выражение 2 – ложно.

Пусть p – истинно. Тогда из выражения 2 следует, что q  r должно быть ложно. Следовательно, q должно быть истинно, а r – ложно. Подставим значения p и q в выражение 1 и получим противоречие. Следовательно, исходная формула является общезначимой.

Метод не обладает необходимой общностью, неприменим для функций и может быть использован для относительно простых правил.

Нетрудно видеть, что рассмотренные методы являются переборными и «не работают» при бесконечных семантических деревьях, обусловленных использованием функций.

Для этого служит метод Эрбрана, использующий универсум Эрбрана и эрбрановскую базу.

Метод Эрбрана. В этом методе впервые использовано понятие функции.

Пусть конечная форма имеет вид F_s = (P(a), P(x)P(f(x))), где f(x) – функция, a – константа.

Составляется набор интерпретаций Эрбрана:

H₀ = {a},

H₁ = {a, f(a)},

H₂ = {a, f(a), f(f(a))} и т.д.

Эрбрановской базой ЭБ(F_s) или атомарным множеством для F_s является множество атомарных формул, в которых вместо переменных стоят константы из универсума Эрбрана. ЭБ(F_s) = { P(a)}.

Цель недостижима, тогда и только тогда, когда она ложна на всех интерпретациях Эрбрана.

Таким образом, вопрос выводимости логической формулы сводится к доказательству безкванторной логической формулы и соответствующей ей формулы исчисления высказываний.

При проверке общезначимости формулы достаточно найти только замкнутое дерево, все листья которого являются неблагоприятными вершинами (вершинами, в которых обнаружено, что интерпретация не удовлетворяет F_s).

В случае бесконечных функций сформулировано правило выделения конечного множества интерпретаций, которое позволяет судить о достижимости бесконечного множества, если достижимо выделенное конечное множество.

Этот метод трудоемкий в прикладном плане. В связи с недостатками перечисленных методов наибольшее распространение получил метод резолюции Робинсона.