Практична робота № 7

«Налагодження програм»

Увага! Під час роботи з комп’ютером дотримуйтеся правил безпеки та санітарно-гігієнічних норм.

1. Відкрийте Turbo Delphi 2006.

2. Створіть проект для визначення, у скільки разів добуток двох заданих цілих чисел більший за суму цих чисел.

3. Створіть три тестових набори вхідних даних для тестування проекту. Обчисліть очікувані результати. Протестуйте проект на ваших тестових даних.

4. Поставте коментарі для позначення рядків, у яких відбувається обчислення суми та добутку.

5. Виконайте проект у покроковому режимі. У ході покрокового виконання проекту прослідкуйте за значеннями суми та добутку. Запишіть, які повідомлення відображаються у стовпчику Value для вказаних змінних перед початком покрокового виконання проекту, в ході виконання для одного з наборів початкових даних та після завершення виконання.

6. Створіть у власній папці папку Практична 7 і збережіть у ній проект.

2.7. Основні поняття математичної логіки

Пригадайте!

1. Що таке логічний вираз? Яке значення він може набувати?

2. Опишіть загальний вигляд, кількість аргументів та результат функцій AND, OR, NOT табличного процесора.

3. Які властивості змінної ви знаєте?

4. Що визначає тип змінної? Які вам відомі числові типи?

У попередніх пунктах ми розглядали проекти, які реалізовували лінійні алгоритми. У проектах, що реалізують алгоритми з розгалуженнями, використовують логічні вирази. Розглянемо логічні вирази і операції над ними.

Висловлення. Логічні константи. Логічні операції

Логіка (грец. λόγος – слово, смисл, думка, мова) – наука про форми, методи і закони інтелектуальної пізнавальної діяльності, правильного мислення, про способи міркування. Логіка як наука вивчає способи отримання правильних висновків з висновків, отриманих раніше.

Один з розділів логіки – математична логіка – є наукою про закони математичного мислення. До основних понять математичної логіки входить поняття висловлення. Під висловленням розуміють розповідне речення, про яке можна однозначно сказати, правильне (істинне) воно чи неправильне (хибне). Висловлення позначають великими літерами англійського алфавіту, наприклад, А = «Київ – столиця України», В = «2 + 2 = 5».

Основною властивістю висловлення є його істинність, інші властивості вважаються несуттєвими. Значення істинності висловлення позначають 1 або true, якщо висловлення істинне, 0 або false, якщо висловлення хибне. Наприклад, висловлення А = «Київ – столиця України» є істинним, тобто значення його властивості істинність дорівнює true. Висловлення С = «3 > 5» є хибним, тобто значення його властивості істинність дорівнює false.

Запам’ятайте!

Значення true та false називаються логічними константами.

Із заданих висловлень можна отримати нові – складені – використовуючи логічні операції: заперечення, кон’юнкцію (лат. conjunctio – об’єднання), диз’юнкцію (лат. disjunctio – роз’єднання) та інші.

Запам’ятайте!

Запереченням називається операція утворення з висловлення А такого складеного висловлення`А (читається «не А»), яке істинне тоді, коли А хибне, і хибне тоді, коли А істинне.

Використанню операції заперечення в українській мові відповідає вживання частки «не» перед дієсловом. Наприклад, запереченням висловлення А = «Існує найбільше просте число» є висловлення `А = «Не існує найбільшого простого числа».

Висловлення та його заперечення не можуть бути одночасно істинними або одночасно хибними.

Подібно до того, як у математиці використовують таблиці додавання та множення для визначення результатів виконання цих арифметичних операцій, у математичній логіці використовують таблиці істинності. У таблиці істинності для кожного можливого набору значень властивості істинність висловлень наводиться відповідне значення цієї властивості для висловлення, яке є результатом виконання логічної операції над ними.

За означенням, заперечення виконується над одним висловленням, яке може бути абло істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції заперечення має такий вигляд:

А	`А
0	1
1	0

Запам’ятайте!

Кон’юнкцією двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А /\ В (читається «А і В»), яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення А і В істинні.

Використанню операції кон’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «і». Наприклад, висловлення В = «Число 27 кратне 3 і число 27 кратне 9» є кон’юнкцією двох висловлень: «Число 27 кратне 3» та «Число 27 кратне 9»,

За означенням, кон’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції кон’юнкція має такий вигляд:

А	В	А /\ В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операцію кон’юнкція також називають логічним множенням.

Запам’ятайте!

Диз’юнкцією двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А \/ В (читається «А або В»), яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне з висловлень А або В.

Використанню операції диз’юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «або». Наприклад, висловлення С = «21 ≤ 21» є диз’юнкцією двох висловлень: "21=21" та " 21<21".

За означенням, диз’юнкція виконується над двома висловленнями. Кожне з них може бути або істинним, або хибним. Тому таблиця істинності операції диз’юнкція має такий вигляд:

А	В	А \/ В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Операцію диз’юнкція також називають логічним додаванням.

При розв’язуванні багатьох задач зустрічаються висловлення із змінними, в яких використовуються знаки порівняння: > (більше), < (менше), = (дорівнює), <> (не дорівнює), >= (більше або дорівнює), <= (менше або дорівнює), наприклад, x > 5, y < z. Такі висловлення можуть бути істинними при одних значеннях змінних і хибними при інших.

Висловлення x < 0 є простим, а висловлення 3 < x < 5 – складеним. Останнє можна представити як кон’юнкцію двох простих висловлень: (x > 3) /\ (x < 5).

Наприклад, щоб визначити, чи лежить точка з координатами (х, у) у першій координатній чверті, потрібно визначити істинність складеного висловлення (х > 0) і (y > 0). Для точки з координатами (3, -5) матимемо (3 > 0) і (-5 > 0). Оскільки перше твердження істинне, а друге – хибне, то їх кон’юнкція хибна. Тобто ця точка не лежіть у першій чверті.

Логічні змінні. Логічні вирази та їх таблиці істинності. Логічні формули

Алгеброю логіки (булевою логікою, алгеброю висловлень) називають розділ математичної логіки, в якому розглядається загальні властивості виразів, складених з висловлень з використанням логічних операцій.

Цікаві факти з історії

Основні положення алгебри логіки були сформульовані англійським математиком та філософом Джорджем Булем (1815-1864) (рис. 2.44). У 1854 році вийшла його основна праця «Дослідження законів думки, на яких засновані математичні теорії логіки й імовірності». Ця книга нині зараховується до математичної класики. У ній досліджується система алгебри, яку сьогодні називають «алгеброю висловлень» або «булевою логікою». Булева логіка стала основним математичним інструментом для створення комп’ютерів.

В алгебрі логіки використовується поняття логічна змінна.

Запам’ятайте!

Логічна змінна – це змінна, яка може набувати лише значень true або false.

Завданням алгебри логіки є визначення істинності логічних виразів – виразів, що складаються з логічних констант, логічних змінних, логічних операцій, дужок, наприклад,`(A \/ B ) /\ (A \/ В).

Зрозуміло, що значенням логічного виразу може бути лише true або false.

Для логічних операцій, розглянутих вище, визначений такий пріоритет операцій: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція. Для змінення цього порядку виконання логічних операцій використовують дужки.

Для обчислення значення істинності логічного виразу можна використати таблиці істинності.

Для складання та заповнення таблиці істинності потрібно:

1. Обчислити кількість можливих наборів значень логічних змінних. Якщо формула містить n різних логічних змінних, то можливих наборів значень цих змінних буде 2ⁿ . Це число визначає кількість рядків у таблиці істинності.

2. Обчислити кількість логічних операцій у логічному виразі. Ця кількість плюс кількість логічних змінних визначає кількість стовпців таблиці.

3. Заповнити перші n стовпців усіма можливими наборами значень логічних змінних.

4. Заповнити кожний наступний стовпець значеннями, отриманими при виконанні чергової логічної операції. Черговість встановлюється згідно названого пріоритету операцій.

В останньому стовпці таблиці будуть отримані усі можливі значення істинності заданого логічного виразу.

Наприклад, вираз `A \/ B /\ A містить дві логічні змінні, тобто n=2. Значить, усього існує 4 набори можливих значень цих змінних (2ⁿ = 2² =4). Вираз містить 3 логічні операції: заперечення, диз’юнкція і кон’юнкція. Таким чином, таблиця істинності буде складатися з 4 рядків та 5 стовпців. Першою згідно пріоритету буде виконуватись операція заперечення, другою – кон’юнкція, останньою – диз’юнкція, в якій потрібно використовувати результати перших двох операцій.

Отримаємо таку таблицю істинності:

А	В	1	2	3
`A	B /\ A	(`A) (B /\ A)
0	0	1	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

Аналізуючи останній стовпець таблиці істинності, робимо висновок, що вираз буде мати значення false лише у випадку, коли логічні змінні мають такі значення: А = true, B = false. У всіх інших випадках значенням логічного виразу буде true.

Запам’ятайте!

Два логічні вирази називаються рівними, якщо вони набувають однакових значень при одних і тих самих наборах значень логічних змінних, що входять до цих виразів.

Рівність двох логічних виразів утворюють логічну формулу.

Наведемо кілька цікавих і корисних логічних формул:

1. – формула подвійного заперечення

2. А \/ А = А – формула поглинання

3. = – формула заперечення диз’юнкції (закон де Моргана)

Для доведення цих рівностей можна скласти і порівняти таблиці істинності логічних виразів у правій і лівій частинах. Пропонуємо вам зробити це самостійно.

Ц ікаві факти з історії

Аугустус де Морган (1806 - 1871) (рис. 2.45) – шотландський математик і логік, професор математики Лонднського університетського коледжу, перший президент Лондонського математичного товариства. Результати своїх досліджень з логіки одержав незалежно від Джорджа Буля і виклав у 1847 році.

Перевірте себе

1. º Що вивчає наука логіка? Що вивчає математична логіка?

2. º Що таке висловлення? Наведіть приклади істинних і хибних висловлень

3. * Які речення не є висловленнями?

4. º Що називається логічною константою?

5. ·Як утворюються складені висловлення? Наведіть приклади

6. · Що таке заперечення? Наведіть приклади.

7. º Для чого використовують таблиці істинності?

8. · Наведіть таблицю істинності заперечення

9. · Що таке кон’юнкція? Наведіть приклади.

10. · Наведіть таблицю істинності кон’юнкції.

11. · Що таке диз’юнкція? Наведіть приклади.

12. · Наведіть таблицю істинності диз’юнкції.

13. º Яка змінна називається логічною?

14. *Чим логічна змінна відрізняється від логічного висловлення?

15. · З чого складаються логічні вирази? Які значення вони можуть набувати?

16. º Назвіть пріоритет логічних операцій.

17. · Наведіть алгоритм складання та заповнення таблиці істинності логічного виразу.

18. ·Які логічні вирази називаються рівними? Що таке логічна формула?

Виконайте завдання

1. · Побудуйте заперечення висловлень та з’ясуйте їх істинність:

а) Число 3 є дільником числа 545.

б) Автомобіль не має права їхати на червоне світло

в) Існують паралелограми з прямими кутами

г) Рівняння 2х² – 3х + 1 = 0 має цілий корінь

є) Не існує натурального числа, що поділяється на 2

ж) Існує ціле число, яке ділиться на всі цілі числа

2. · Серед наступних складених висловлень знайдіть кон’юнкції та диз’юнкції та визначте їх істинність:

а) “Число 27 кратне 3 та кратне 9”

б) “17 < 42 < 18”

в) “Число 2 просте або парне”

г) “∆ АВС є гострокутним, прямокутним або тупокутним”

д) “Діагоналі будь-якого паралелограму перпендикулярні та точкою перетину поділяються навпіл”

є) “7² = 49 і (-7)² = 49”

ж) “Якщо трикутник рівнобедрений, то він рівносторонній”

з) “21 ≤ 21”

и) “21 ≤ 18”.

Кон’юнкція
Диз’юнкція
Ні кон’юнкція, ні диз’юнкція

3. · Визначте істинність або хибність складених висловлень для наведених значень змінних:

1. «x > 0 і y > 0 або x < 0 і y < 0»

2. «x > 0 і не y < 0 або x < 0 та y > 0»

Значення змінних:

1. х = 5, у = 8

2. х = 5, у = -8

3. х = -5, у = 8

4. х = -5, у = -8.

4. (ДЗ) · Нехай А = "Іванов вивчає англійську мову", В = "Іванов має оцінку 8 з інформатики". Сформулюйте висловлення:

а) А /\`B б)`А \/ B в) A \/ `A /\ B г) `A \/ `B /\ А

5. º Вкажіть порядок виконання операції у логічних виразах:

1. A \/ `A /\ B

2. `A \/ `B /\ А

3. ( A \/`B ) /\ (`A \/ `B )

4. `A /\`B \/ C /\ D

6. · Побудуйте таблиці істинності логічних виразів:

1. A \/ A /\ B

2. A \/ `A /\ B

3. A /\ B \/`B

4. (ДЗ) ( A \/`B ) /\ (`A \/ `B )

5. (ДЗ) `A \/ `B

6. (ДЗ) A /\`B \/`A /\ B

7. Доведіть логічні формули:

   1. A /\ A = A

   2. =

   3. A /\ (B \/ C) = (A /\ B) \/ (A /\ C)

   4. (ДЗ) A \/ (B /\ C) = (A \/ B) /\ (A \/ C)

   5. (ДЗ) A /\ (A \/ B)  A