Содержание

ВВЕДЕНИЕ 5

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 8

Постановка и особенности задач нелинейного программирования 8

Нахождение безусловных экстремумов непрерывных дифференцируемых функций 23

Нахождение условных экстремумов. Метод множителей Лагранжа 28

ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 35

Классификация задач выпуклого программирования 38

Формы записи задачи выпуклого программирования 40

Градиент и производная по направлению 41

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 48

Метод Франка-Вульфа 48

МЕТОДЫ ПОИСКА – МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 65

Метод последовательного изменения аргументов (координат) 65

Градиентные методы 76

Метод наискорейшего подъема (для самостоятельного изучения) 76

Метод наискорейшего спуска 80

Различные алгоритмы градиентного метода (для самостоятельного изучения) 84

Алгоритм нелокального случайного поиска на минимум целевой функции 90

Особенности метода локального случайного поиска 95

Метод штрафных функций 95

КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (КП) 102

Графический метод 102

Квадратичный симплекс-метод 115

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 121

Тесты - выпуклое программирование 121

Тесты - квадратичное программирование 125

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 137

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ 140

ПРИЛОЖЕНИЕ 154

Введение

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 080500 – «Менеджмент», специальности 080502 – Экономика и управление на предприятиях АПК (квалификация – экономист – менеджер), утвержденной 17 марта 2000 г., предусматривает следующие требования к содержанию дисциплины ЕН.Ф.1 «Математика»:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра; последовательности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления; векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения; численные методы; функции комплексного переменного; элементы функционального анализа; вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

Раздел «Численные методы» вынесен в учебный план по дисциплине «Математические методы в экономике» (ЕН. Р. 00 Национальный региональный (вузовский) компонент ЕН. Р. 01):

Теория линейного программирования. Теория двойственности и экономические приложения. Численные методы решения задач линейного программирования. Задачи параметрического программирования. Задачи целочисленного программирования, их экономические приложения и методы решения. Задачи дробно - линейного программирования. Общая теория математического программирования. Нелинейное программирование. Выпуклое программирование. Модели динамического программирования. Модели сетевого планирования и управления. Модели системы массового обслуживания. Модели управления запасами.

Цель работы – дать основные теоретические понятия о задачах нелинейного программирования и выпуклого программирования. Остальные разделы были изложены в [9] и [10].

Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, изучающих математические методы в экономике и методы оптимальных решений, а также математические методы в управлении рисками.

По каждой теме пособия в краткой форме излагается теоретический материал, приводятся примеры выполнения практического задания, варианты индивидуальных заданий, контрольные вопросы по основным моментам изучаемого материала. Тема должна быть защищена по результатам выполнения лабораторной работы и ответов на контрольные вопросы преподавателю, что является формой промежуточного контроля знаний студентов. Работа содержит большое число заданий для самостоятельной работы студентов. В конце пособия даны тесты для опроса студентов, приведен словарь основных понятий и терминов по рассматриваемым темам. Учебное пособие полезно как для студентов бакалавриата, специалитета, так и для студентов магистратуры.

Перед началом изучения учебного пособия студент проверяет свои знания, ответив на поставленные вопросы:

1. Какая система уравнений называется совместной?

2. Какая система уравнений называется несовместной?

3. Какая система линейных уравнений называется определенной?

4. Какая система линейных уравнений называется неопределенной?

5. Чем графически изображается ax+by=c.

6. Какую линию представляет функция y=ax/b +c.

7. Какую линию представляет функция y=k/x.

8. Какую линию представляет функция F=(a₁x + b₁y + c₁)/(a₂x + b₂y + c₂).

9. Как построить прямую ax+by=c.

10. Как построить линию (a₁x +b₁y+c₁)/(a₂x +b₂y+c₂)= F.

11. Найти производную функции y=cx.

12. Найти производную функции y=k/x.

13. Найти производную функции y=cx².

14. Найти производную функции y(x) =u(x)/v(x).

15. Найти производную функции F(x,y)=(a₁x +b₁y+c₁)/(a₂x +b₂y+c₂).

16. Найти частные производные функции z=ax+by.

17. Найти частные производные функции z=ax²+by² + cx+dy.

18. Найти интеграл функции axdx.

19. Найти интеграл функции [a(x)-1]dx.

20. Найти интеграл функции ax²dx.

21. Найти интеграл функции a(x)^-2dx.

22. Найти интеграл функции ((a)x+b)хdx

23. Построить линию (x-a)² +(y-b) ² - c=0

24. Построить линию (x-a) ² - (y-b) ² - c=0

25. Построить линию y= p(x-a) ² - b=0

26. Построить линию x= p(y-a) ² - b=0

27. Построить линию D(x-a) ² +K(y-b) ²-c=0, K D