- •Н.Г. Лядина, е.А. Ермакова, л.В. Уразбахтина
- •Математические методы в экономике апк
- •Нелинейное и выпуклое программирование
- •Учебное пособие
- •Содержание
- •Введение
- •Нелинейное программирование Постановка и особенности задач нелинейного программирования
- •2. Область допустимых решений может иметь несколько оптимальных решений, находящихся в отличие от линейного программирования не на отрезке. Пример на рисунке 1.
- •3. Область допустимых решений может состоять из нескольких частей.
- •4. Точки, соответствующие оптимальному решению, могут находиться как на границе, так и внутри области допустимых решений.
- •5. Целевая функция может иметь несколько локальных экстремумов, из которых затем находят точку глобального оптимума.
- •Контрольные вопросы
- •Экстремум функции1
- •Нахождение безусловных экстремумов непрерывных дифференцируемых функций
- •Контрольные вопросы
- •Индивидуальные задания 1
- •Нахождение условных экстремумов. Метод множителей Лагранжа5
- •Б) Алгоритм метода множителей Лагранжа
- •Контрольные вопросы
- •Выпуклое программирование
- •Свойства выпуклых и гладких функций
- •Классификация задач выпуклого программирования
- •Экономические показатели производства культур
- •Формы записи задачи выпуклого программирования
- •Градиент и производная по направлению
- •Алгоритм решения специальной задачи выпуклого программирования. Метод Франка-Вульфа 10
- •Индивидуальные задания 3
- •Методы поиска – методы решения задач выпуклого программирования Метод последовательного изменения аргументов (координат)
- •Индивидуальные задания 4
- •Индивидуальные задания 5
- •Градиентные методы Метод наискорейшего подъема (для самостоятельного изучения)
- •Метод наискорейшего спуска
- •Различные алгоритмы градиентного метода (для самостоятельного изучения)
- •Индивидуальные задания 6
- •Индивидуальные задания 7
- •Алгоритм нелокального случайного поиска на минимум целевой функции
- •Индивидуальные задания 8
- •Особенности метода локального случайного поиска
- •Индивидуальные задания 9
- •Метод штрафных функций
- •Индивидуальные задания 10
- •Квадратичное программирование (кп) Графический метод
- •Контрольные вопросы
- •Индивидуальные задания 11
- •Квадратичный симплекс-метод
- •Индивидуальные задания 12
- •Контрольные вопросы и задания
- •Тестовые задания Тесты - выпуклое программирование
- •Тесты - квадратичное программирование
- •Рекомендуемая литература
- •Словарь терминов
- •Приложение
- •Индивидуальные задания 1 - 30
- •127550, Москва, ул. Тимирязевская, 44
Индивидуальные задания 3
Решить задачи методом Франка- Вульфа.
1. Найти max z = 2x1 + 3x2 +2x12 + 3x22
при условиях: x1 + 4x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
2. Найти max z =3x12 + 4x22 + 2x1 + 3x2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
- x1 + 2x2 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
3. Найти max z = x1 + 5x2 + 2x12 + 3x22
при условиях: 2x1 + x2 ≥ 2,0
3x1 + x2 ≤ 4
x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
4. Найти min z = 4x12 + 3x22 - x1 - 3x1
при условиях: x1 - 2x2 ≤ 8
x2 ≤ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
5. Найти max z = x1 + 4x2 - 612 + 3x22
при условиях: x1 + x2 ≤ 6
x1 - x2 ≤ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
6. Найти min z =2x12 + 5x22 + 2x1 - 4x2
при условиях: x1 - x2 ≤ 3
x1 ≤ 5
x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
7. Найти min z = - 2x1 - 4x2 + 2x12 + 3x22
при условиях: 2x1 - 3x2 ≤ 0
x2 ≤ 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
8. Найти max z = - 5x1 - 2x2 +3x12 + 3x22 - 2
при условиях: x1 + x2 ≥ 1
2x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
9. Найти max z = 4x12 + 2x22 - 2x1 + 2x2 + 3
при условиях: x1 + 2x2 ≥ 3
2x1 - x2 ≤ 1
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
10. Найти min z = 2x1 + 6x2 +2x12 + 3x22 - 1
при условиях: 2x1 + x2 ≤ 3
-x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
11. Найти min z = -2x12 + 3x22 + 4x1 + x2 + 1
при условиях: x1 + x2 ≤ 10
2x1 - x2 ≤ 10
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
12. Найти max z = - 8x1 - 2 x2 +2x12 + 4x22 + 1
при условиях: 5x1 + x2 ≥ 6
3x1 - 2x2 ≤ 1
x1 + 2x2 ≥ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
13. Найти max z = 4x1 + x2 -2x12 + 4x22 - 2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
14. Найти max z =3x12 + 2x22 + 9x1 + 4x2 + 2
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
15. Найти max z = 3x1 - 2 x2 - 2x12 + 4x22 - 5
при условиях: x1 - x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
16. Найти min z = -2x12 + 3x22 + 4x1 + 6 x2 + 1
при условиях: x1 + x2 ≤ 5
2x1 - x2 ≤ 6
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
17. Найти min z = -2x12 - 3x22 + 4x1 +3x2 + 1
при условиях: x1 + x2 ≤ 7
2x1 - x2 ≤ 7
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0