Задача №33

Аудитория освещается тремя одинаковыми лампами, вероятности отказа которых при повышении напряжения на 5% одинаковы и равны 0,2. Определить вероятность того, что перегорят только две лампы, если напряжение в сети составит 105% от номинального.

Решение.

Применяя формулу Бернулли, находим вероятность перегорания двух из трёх ламп при повышении напряжения на 5%:

Р =С р²q^{3- 2} = = 0,096.

Задача №34

Вероятность того, что расход электроэнергии предприятием в течение одних суток превысит установленную норму, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести суток расход электроэнергии в течение четырех не превысит норму.

Решение.

Применяем формулу Бернулли.

Вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы имеет вид:

= С p⁴q²= = 0,297.

Занятие №3 Способы задания законов распределения. Задача №35

Проверяется 5 деталей поочередно, причем каждая последующая деталь проверяется, если предыдущая выдержала испытание. Как только какая–то деталь не проходит испытание, испытания прекращаются и бракуется вся партия деталей. Вероятность р выдержать испытание для каждого детали одинакова и равна 0,9. Построить многоугольник распределения количества деталей, подвергнутых испытанию в серии, записать ряд распределения этой случайной величины (СВ), построить график функции распределения количества деталей, проверяемых в серии. Найти математическое ожидание (МО) – m_Х и дисперсию ‑ D_Х количества деталей, испытываемых в серии.

Решение.

Ряд распределения – это таблица, в которой с одной стороны указаны значения случайной величины, а с другой – их вероятности. В ряду распределения значения СВ располагаются упорядочено – по мере их возрастания.

Для того чтобы записать ряд распределения, подсчитываются вероятности возможных значений СВ:

Серия завершится одним испытанием, если испытание не пройдёт первая же деталь: Р(Х = 1) = 1 – р = q = 1- 0,9 = 0,1.

Число испытаний в серии будет равно двум, если первая деталь выдержит испытание, а вторая не выдержит: Р(Х = 2) = рq = 0,9 0,1 = 0,09.

Серия будет состоять из трёх испытаний, если первые две детали пройдут испытания, а третья - не пройдёт: Р(Х = 3) = ррq = 0,9² 0,1 = 0,081.

Серия будет состоять из четырёх испытаний, если первые три детали пройдут испытания, а четвертая - не пройдёт: Р(Х = 4) = рррq = 0,9³ 0,1 = 0,0729.

Все пять испытаний будут проведены только в том случай, если первые четыре детали выдержат испытания: рррр = 0,9⁴ =0,6361.

Таблица 1. Ряд распределения количества проверяемых в серии деталей

X	1	2	3	4	5
P	0,1000	0,0900	0,0810	0,0729	0,6361
F	0,0000	0,1000	0,1900	0,2710	0,3439

На основании ряда распределения строится многоугольник распределения (рис. 26) и график интегральной функции распределения (рис. 27), которую часто называют функцией накопленных вероятностей.

Математическое ожидание количества деталей, испытываемых в серии:

m_Х = = 1∙0,1 + 2∙0,09 + 3∙0,081 + 4∙0,729 + 5∙0,6561 = 4,095.

По многоугольнику распределения (рис. 26) можно убедиться в том, что это значение соответствует абсциссе центра тяжести плоской однородной фигуры, повторяющей по форме этот многоугольник.

Дисперсия количества деталей, испытываемых в серии:

D_Х = α₂(х) – m_Х²_,

где α₂(х) –2-й начальный момент, который определяется по формуле:

α₂[Х] = М[Х²] = = 1²∙0,1 + 2²∙0,09 + 3²∙0,081 + 4²∙0,729 + 5²∙0,6561 = 18,758.

Тогда дисперсия D_Х = 18,758 – 4,095^{2 =} 1,988.