Лекция №4 « Матрицы и определители»

Матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрицей размера называется прямоугольная красивая таблица чисел, содержащая строк и столбцов.

Для обозначения матриц применяются круглые скобки , квадратные скобки или двойные вертикальные черточки .

ПРИМЕРЫ: Таблицы чисел

, , ,

представляют собой матрицы.

Таблицы

, ,

не являются матрицами, поскольку они не прямоугольны.

Матрицы, в отличие от определителя, не являются числом. Это условный способ обозначения таблиц с числами. Матрицы обычно обозначаются большими латинскими буквами …..

Запишем матрицу, имеющую строк и столбцов:

(1)

Числа , составляющие матрицу, ( - номер строки, - номер столбца) называются элементами матрицы.

В сокращенной записи (1) выглядит так: .

Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, она называется квадратной, или матрицей - порядка.

Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, образуют главную диагональ.

А элементы образуют побочную диагональ.

Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой матрицей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов на главной диагонали равны 0, называется диагональной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Диагональная матрица, у которой каждый элемент на главной диагонали равен 1, называется единичной.

Обозначают .

ПРИМЕРЫ:

- единичная матрица 3 порядка;

- единичная матрица - порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны 0.

ЗАМЕЧАНИЕ: В матричном исчислении матрицы играют такую же роль как 0 и 1 в арифметике. Т.е это 2 нейтрали для операций сложения (0) и операции умножения ( ).

При умножении матрицы на единичную матрицу того же размера, получаем исходную матрицу .

При сложении матрицы и нуль матрицы , в результате получаем матрицу ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица, содержащая 1 столбец или одну строку, называется вектор столбец (матрица-столбец) или вектор строка (матрица-строка).

или

Матрица может состоять из одного числа, например 7, она отождествляется с этим числом, т.е. есть число 7 в обычном понимании.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы и называются равными , если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны.

Если и , то , когда

Действия над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые – специфические.

1.Умножение матрицы на число

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для ; .

ПРИМЕР: если , то ;

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы

;

В частности произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица, т.е

где размер нулевой матрица зависит от размера .