7. Арифметика вычетов по модулю n

Базовое множество состоит из всевозможных остатков при делении целых чисел на n: Z_n ={0,1,,n–1}, их называют вычетами.

Бинарные операции: сложение по модулю n, которое обозначим +_n, это остаток от деления на n обычной суммы целых чисел; аналогично определяется и умножение по модулю n, которое обозначим _n, это остаток от деления на n обычного произведения целых чисел.

С использованием операции mod (см пример 2) можно записать

x +_n y =(x+y) mod n, x _n y =(xy) mod n.

Пусть, например, n=5. Имеем Z₅ ={0,1,2,3,4}. Примеры "модулярных вычислений": 1 +₅ 2 = 3, 1 +₅ 4 = 0, 3 +₅ 4 = 2, 1 ₅ 2 = 2, 2 ₅ 2 = 4, 3 ₅ 2 = 1.

Операция XOR в алгебре логики – не что иное, как сложение по модулю 2, а конъюнкция  – умножение по модулю 2.

Любую бинарную операцию на конечном множестве можно задать с помощью квадратной таблицы (ее называют таблицей Кэли), в которой каждая строка соответствует конкретному значению первого операнда, а каждый стол­бец – конкретному значению второго операнда. Так, операции алгебры логики задаются следующими таблицами Кэли:

Таблица 1.4

Формальная операция

	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

Таблицы Кэли для логических операций Таблица 1.2

	0	1			0	1		XOR	0	1			0	1
0	0	0		0	0	1		0	0	1		0	1	1
1	0	1		1	1	1		1	1	0		1	0	1

Таблицы Кэли сложения и умножения по модулю 5 Таблица 1.3

+5	0	1	2	3	4		5	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4		0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	0		1	0	1	2	3	4
2	2	3	4	0	1		2	0	2	4	1	3
3	3	4	0	1	2		3	0	3	1	4	2
4	4	0	1	2	3		4	0	4	3	2	1

С помощью таблицы Кэли можно задавать и чисто формальные операции на некотором конечном множестве, не имеющие (по крайней мере, на первый взгляд) никакого конкретного смысла. Пусть, например, базовое множество M={a,b,c}, о природе эле­ментов a,b,c ничего не известно. Формальную операцию  зададим таблицей Кэли. Попробуйте угадать, что это за операция, т.е. связать ее с каким-то содержательным примером.