6.7. Линейное и квадратичное детектирование смеси нормального случайного процесса и гармонического сигнала
Линейный и квадратичный детекторы выделяют огибающую сигнала и ее квадрат. Непосредственное исследование системы "нелинейный элемент - инерционный элемент (фильтр)" достаточно сложно, поэтому ограничимся сравнением статистических характеристик огибающей и ее квадрата. Выражения для огибающей получены в п. 6.6. Матожидание и дисперсия определяются следующими выражениями:
(6.7)
(6.8)
Воспользовавшись асимптотическими представлениями Бесселевых функций, получим:
(6.9)
(6.10)
Если
(6.11)
.
(6.12)
Из выражений (6.7)-(6.12) видно, что при слабых
сигналах
и
растут
пропорционально среднеквадратическому
отклонению шума
,
а при
больших значениях сигнала
пропорционально амплитуде
сигнала, а
- дисперсия (практически постоянна). Эти
зависимости показаны на рис. 6.10.
Таким образом, при малых значениях амплитуды на огибающую большее влияние оказывает значение шума, при больших значениях отношения сигнал/шум большее влияние на огибающую оказывает амплитуда гармонического сигнала. Если провести такие же преобразования для квадрата огибающей, то можно получить матожидание и среднеквадратическое отклонение для квадратичного детектора:
Рис.
6.10. Зависимость среднего и
среднеквадратического отклонения
огибающей от отношения сигнал/шум
Рис. 6.11. Зависимость
среднего и среднеквадратического
отклонения квадрата огибающей от
отношения сигнал/шум
Таким образом, зависимости для квадратического детектора похожи на зависимости для линейного в режиме малого сигнала.
Методические указания
При анализе материала, изложенного в этом разделе, необходимы следующие понятия теории вероятностей: "плотность вероятности", "функция распределения", "корреляционная функция". Необходимо вспомнить методы аппроксимации нелинейных характеристик цепей, изложенные в первой части курса "Радиотехнические цепи и сигналы", обратить внимание на прохождение детерминированных сигналов через линейный и квадратичный детекторы, вспомнить понятия частоты, фазы, огибающей, преобразования Фурье и Гильберта, а также понятие аналитического сигнала.
Контрольные вопросы
1. Чем отличается нелинейное преобразование сигнала от линейного?
2. В каком случае в ПРВ сигнала на выходе нелинейного элемента появляются дельта-функции?
3. Чем отличается ПРВ сигнала на выходе элемента с монотонной характеристикой от ПРВ сигнала на выходе элемента с многозначной характеристикой?
4. Что такое векторный случайный процесс?
5. Чем отличается случайная величина от случайного процесса?
6. Что такое узкополосный случайный процесс?
7. Что такое огибающая случайного процесса?
8. Как найти фазу случайного процесса?
9. Какое распределение имеет фаза нормального случайного процесса?
10. Какое распределение имеет огибающая нормального случайного процесса?
11. Что такое квазигармоническое представление узкополосного случайного процесса?
12. Какое распределение имеет огибающая смеси нормального случайного шума и гармонического сигнала?
13. Как найти корреляционную функцию огибающей нормального случайного процесса?
14. Что определяет ПРВ фазы суммы нормального шума и гармонического сигнала?
15. К какому распределению стремится распределение фазы смеси нормального шума и гармонического сигнала при увеличении отношения сигнал/шум?
16. К какому распределению стремится распределение огибающей смеси нормального шума и гармонического сигнала при возрастании отношения сигнал/шум?
17. К какому распределению стремится распределение мгновенной частоты смеси гармонического сигнала и нормального узкополосного шума при большом отношении сигнал/шум?