- •6. Преобразование случайных процессов в нелинейных радиотехнических цепях
- •6.1. Безынерционное нелинейное преобразование
- •6.2. Распределение процесса на выходе безынерционной цепи с кусочно-линейной характеристикой
- •6.3. Функциональное преобразование векторных случайных процессов
- •6.4. Узкополосные случайные процессы
- •6.5. Статистические характеристики огибающей и фазы случайных процессов
- •6.6. Статистические характеристики огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного шума
- •6.7. Линейное и квадратичное детектирование смеси нормального случайного процесса и гармонического сигнала
6.3. Функциональное преобразование векторных случайных процессов
Часто в практике встречаются векторные случайные процессы, когда в каждый момент времени t случайные процессы описываются несколькими случайными величинами: (например, сигнал в двух каналах стереофонического магнитофона, огибающая и фаза сигнала, два цветоразностных сигнала в цветном телевидении, множество сигналов записываемых на бортовой регистратор и т.д.).
Пусть случайные величины и связаны функциональными преобразованиями:
....................................
В том случае, если существуют однозначные обратные функции:
то плотность распределения вероятности векторной случайной величины определяется выражением:
где
(6.1)
- якобиан преобразования.
Если функции неоднозначны, то тогда надо взять суммы функций по всем областям.
6.4. Узкополосные случайные процессы
Для эргодических случайных процессов при равенстве матожидания нулю случайному процессу с помощью преобразования Гильберта можно поставить в соответствие новый сопряженный с ним стационарный случайный процесс
Случайный процесс и ему сопряженный можно записать в виде:
где
- огибающая;
- фаза случайного процесса.
A(t) и Ф(t) обладают следующими свойствами: в каждый момент времени выполняется неравенство и поэтому случайная функция не пересекает огибающую A(t). Кроме того,
и поэтому в тех точках, где имеется равенство , т.е. функции и не пересекаются и в точках соприкосновения имеют общие касательные. Это объясняет смысл названия . Таким образом, при таком представлении случайный процесс можно считать гармоническим колебанием, модулированным по амплитуде и фазе случайными функциями и . Если случайный процесс - нормальный, то нормальным будет и сопряженный процесс (так как преобразование Гильберта является линейным). Пусть спектральная плотность конкретной реализации , тогда спектр сопряженной реализации . Модули спектральных плотностей совпадают, поэтому одинаковы и спектральные плотности процессов и , и корреляционные функции
Здесь - односторонний спектр мощности .
Взаимная корреляционная функция сопряженных процессов
Таким образом, взаимная корреляционная функция и корреляционная функция являются парой преобразования Гильберта. Можно показать, что
=- .
Следовательно, находя корреляционную функцию через энергетический спектр, получаем:
где - обозначает преобразование Гильберта.
Отсюда следует, что взаимная корреляционная функция сопряженных процессов нечетная , если, то , следовательно, процессы и - некогерентны, а если процессы нормальные, то они и независимы.
Рис.
6.5. Энергетический спектр узкополосного
процесса
где . Поскольку процесс узкополосный, то при , поэтому можно считать, что с пренебрежимо малой погрешностью
Или
где
Если спектр мощности симметричен относительно частоты , то и следовательно,
где - квадрат среднеквадратического отклонения; - нормированная огибающая корреляционной функции.
Для узкополосного процесса полезным является квазигармоническое представление
здесь огибающая U(t) и начальная фаза представляют собой медленно изменяющиеся случайные функции времени. Можно представить как сумму синфазной и квадратурных составляющих:
где и медленно изменяющиеся функции времени с низкочастотным спектром.
Сопряженный процесс можно найти с помощью преобразования Гильберта. Поскольку функции и медленные, их можно (с небольшой погрешностью) считать постоянными и вынести за знак интеграла. Тогда:
Для узкополосного случайного процесса взаимная корреляционная функция с сопряженным процессом