5

МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА "ДУБНА"

Кафедра математики и прикладной информатики

Профессор, доктор технических наук гребёнкин Михаил Фёдорович

Физика. Механика. Динамика. Силы

Методические указания по решению задач

Задачи по динамике имеют много общих черт, которые позволяют выписать некий алгоритм решения таких задач. Описанный далее алгоритм касается формалистики и не затрагивает, естественно, физической сущности решаемых задач, которая у каждой задачи своя и которую надо хорошо понимать для успешного решения задачи.

1. Прежде всего, запишите условие задачи по форме, которой вас учили ещё в школе, переведите единицы измерения в систему СИ и выпишите числовые данные в виде десятичной дроби, которая больше или равна 1, но меньше 10, с необходимым числом значащих цифр после запятой для получения ответа с необходимой точностью, помноженной на 10 в соответствующей степени.

2. Нарисуйте рисунок или схему задачи. Это важнейший компонент решения, поэтому рисунок должен быть большим, ясным, аккуратно начерченным. Пользуйтесь линейкой и цветными чернилами или карандашами. Пока рисуете, думайте над условием задачи – рисунок должен соответствовать условию.

3. Определите, сколько в задаче двигающихся тел¹. Сначала решайте задачу отдельно для каждого тела, объединение решения произойдёт позже.

4. Нарисуйте силы, действующие на выбранное вами тело. Не рисуйте эти силы на уже нарисованном вами рисунке к задаче. Отдельно поставьте жирную точку для обозначения тела² и к этой точке пририсовывайте вектора (стрелки), обозначающие действующие на тело силы. Для того, чтобы нарисовать все силы, действующие на тело, надо выяснить, с какими другими телами взаимодействует выбранное вами тело – сколько взаимодействий, столько и сил. Сила – характеристика взаимодействия двух тел; чтобы показать, какая сила действует на первое тело, надо второе тело «убрать», а вместо него нарисовать силу, с которой второе тело действует на первое³. Нельзя пропустить ни одну существенную силу, несущественными силами следует пренебречь (выбрать, что существенно, а что несущественно, трудно, для этого требуется знать физику, обладать физическим мышлением). Напомним, что сила тяжести всегда направлена к центру Земли, сила реакции опоры всегда перпендикулярна поверхности, сила трения (или сопротивления) всегда направлена против направления движения.

5. Выберите удобную систему координат, связанную с телом⁴. Выбор связан с направлением движения тела и с направлением действия сил. Начертите выбранную вами систему координат тонкими, но ясными линиями. Если есть возможность, обозначьте движение тела, нарисовав вектор скорости и вектор ускорения.

6. Не всегда получается, чтобы все силы были направлены по выбранным осям координат. Те силы, которые не совпадают по направлению с осями координат, следует разложить на составляющие, направленные по осям координат, по соответствующим правилам. На рисунке следует карандашом или ручкой другого цвета (для ясности!) символически зачеркнуть раскладываемую вами силу и нарисовать составляющие этой силы по осям координат так, чтобы определённо было видно, что векторная сумма составляющих сил равна раскладываемой силе. Символическое зачёркивание раскладываемой на составляющие силы связано с тем, что необходимо ясно сознавать, что после раскладывания на составляющие этой силы уже нет, а её заменяют составляющие по осям координат, при этом физическая картина не нарушается вследствие равенства векторной суммы составляющих раскладываемой силе⁵.

7. Теперь наступает важная фаза решения задачи, непосредственно связанная с физикой. Механика Ньютона позволяет рассматривать движение тела по каждой координате в отдельности с тем, чтобы затем полученные по каждой координате результаты объединить. Следует выбрать определённую ось координат, сделать и записать предположения о характере движения тела по этой оси (покоится, движется равномерно, движется с ускорением), указать (письменно) закон Ньютона (1-й или 2-й), подходящий для данного случая, и выписать формулу, вытекающую из этого закона, сначала в векторной форме, а затем через модули сил и ускорения. В последнем случае знак перед обозначениями модуля силы или модуля ускорения следует выбирать, исходя из направления силы (ускорения) и оси координат, по которой рассматривается движение: если направления совпадают – знак +, если противоположны – знак -.

8. В полученном уравнении следует по возможности раскрыть обозначения некоторых сил. Например, сила тяжести вблизи поверхности Земли равна mg, сила трения движения равна μN, где μ – коэффициент трения, а N – модуль силы реакции опоры, вес Р=N по третьему закону Ньютона и т. д. В результате получится уравнение (одна координатная ось – одно уравнение), в котором будут содержаться известные и неизвестные величины.

9. Изложенную выше процедуру следует повторить для другой, а если требуется и для третьей оси координат. Полученные уравнения составят систему уравнений, которую предстоит решить совместно (первое объединение).

10. Подобную процедуру следует применить отдельно ко второму телу, к третьему и т. д. Каждый раз должна получаться своя система уравнений⁶.

11. Теперь пришла пора второго объединения. Системы уравнений, полученные для отдельных тел, следует объединить в одну систему уравнений в соответствии с существом задачи. Здесь следует учесть кинематические связи между телами. Например, если три тела связаны друг с другом двумя нерастяжимыми и невесомыми нитями, то ускорения всех тел будут одинаковыми и силы⁷, с которой нить действует на тела, ею связанные, будут тоже одинаковы и направлены, естественно, в разные стороны.

12. Сколько в задаче неизвестных величин, столько должно быть и уравнений. Если уравнений не хватает, значит, скорее всего, вы чего-то не доглядели. Решение системы уравнений должно привести к получению формул для каждой неизвестной величины. В формулы должны входить, разумеется, известные из условия задачи величины и мировые константы (скорость света, гравитационная постоянная и т. п.).

13. Проверьте размерность полученных формул, если размерности левой и правой частей формулы совпали, значит велика вероятность, что задачу вы решаете правильно. Подставьте в формулы числовые значения известных величин и мировых констант, вычислите числовое значение неизвестных величин, сообразите, похожи ли полученные значения на истинные (вот тут надо иметь общее физическое мышление). Выпишите ответ с указанием размерностей в системе СИ, а потом, если это удобно, в других единицах измерения. Проверьте ответ по задачнику, если это возможно⁸.

Приведём пример решения задачи в соответствии с вышеизложенными указаниями.

ЗАДАЧА. Через блок, укреплённый на ребре призмы, грани которой образуют углы 30° и 45° с горизонтом, перекинута нить (см. рис.). К концам невесомой нерастяжимой нити привязаны грузы массой 1000 г каждый. Коэффициенты трения грузов о плоскость одинаковы и равны 0,1. Определить ускорение грузов и силу натяжения нити.

1 2

α β

Дано: СИ Решение

m ₁=m₂=m

m=1000 гр. 1 кг Движущихся тела два. Предположим, что второе тело движется

μ₁=μ₂=μ вправо вниз. Рассмотрим каждое тело отдельно.

μ=0,1

α=30º Первое тело m₁. Введём систему координат и укажем силы,

β=45º действующие на тело.

y

а₁=?

а ₂=?

F _н=? x

● m₁

α

α

- сила тяжести – гравитационное взаимодействие тела 1 с Землёй;

- сила, с которой нить тянет тело;

- сила реакции опоры;

- сила трения.

Сила натяжения нити, сила трения и сила реакции опоры направлены по выбранным нами осям координат, а вот силу тяжести надо разложить на составляющие:

- составляющая силы тяжести по оси х и - составляющая силы тяжести по оси у.

Рассмотрим ситуацию по оси х:

Х: тело движется с ускорением, 2-й з-н Ньютона ; .

Перейдём от векторной записи к записи для модулей сил и ускорения: .

Рассмотрим ситуацию по оси у:

Y: тело покоится, 1-й з-н Ньютона ; ; .

Получилось два уравнения. Сделаем подстановки и .

; и, наконец, (1).

Итак, мы, рассмотрев ситуацию с телом 1, получили уравнение (1). Перейдём ко второму телу.

Второе тело m₂. Введём систему координат и покажем силы, действующие на второе тело.

y

m₂●

β β

x

X: Тело движется с ускорением; 2-й з-н Ньютона: ;

; .

Y: Тело покоится; 1-й з-н Ньютона: ; ; .

; ; .

(2).

Вспомним, что m₁=m₂=m, μ₁=μ₂=μ и а₁=а₂=а, так как нить невесома и нерастяжима.

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

.

Решение системы: сложим два уравнения, получим:

, откуда

. Это расчётная формула для вычисления модуля ускорения; с размерностью здесь всё в порядке – слева и справа размерность ускорения.

. Вычислив а и подставив его в последнюю формулу, получим значение модуля силы натяжения нити. С размерностью в последней формуле также всё в порядке – слева и справа размерность силы (Н).

Подставим в формулы значения величин и произведём расчёты:

Ответ: а₁=а₂=а=0,24 F_н=6Н.

Примечание. Заметим, что оси координат для удобства проводились параллельно наклонной плоскости (х) и перпендикулярно наклонной плоскости (у). Кроме того, при рассмотрении по отдельности тел 1 и 2 следовало бы ставить индексы 1 и 2 у сил реакции опоры, сил трения, сил тяжести и сил натяжения нити. Силы натяжения нити для тел 1 и 2 равны, так как нить невесома и нерастяжима, а вот остальные силы для тел 1 и 2 неодинаковы, так что для аккуратности индексы следовало бы всё-таки ставить.

1 Некоторые тела могут покоится, движение и покой относительны!

2 Очень часто формой тела можно пренебречь, и поэтому его можно представить точкой. Если форма существенна, но надо рисовать тело так, как оно есть.

3 Немножко портят картину две силы: сила реакции опоры и сила трения. Обе эти силы связаны с взаимодействием рассматриваемого тела с одной и той же поверхностью, поэтому и сила должна была бы быть одна. Но обычно её уже заранее раскладывают на две составляющие: одна сила (реакция опоры) характеризует перпендикулярную поверхности составляющую взаимодействия, а другая сила (сила трения) - тангенциальную.

4 Можно пользоваться одной системой координат для решения всей задачи, но не всегда это удобно.

5 Если раскладываемую по осям координат силу не зачеркнуть, при разглядывании рисунка может сложиться впечатление, что на тело действуют одновременно и сама сила и её составляющие по осям координат, что, конечно, является нонсенсом.

6 Уравнение может быть и одно.

7 Сила действия нити на тело, часто не вполне точно называемая силой натяжения, естественно, направлена вдоль нити.

8 Редко, но бывает, что ответы в задачниках ошибочны.