Лабораторная работа № 2 Интерполирование функции полиномом Лагранжа и кубическими сплайнами. Исследование сходимости процесса интерполирования

Постановка задачи.

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках этого отрезка. Такая задача допускает сколько угодно решений в зависимости от применяемого метода интерполирования. Необходимо аппроксимировать заданную функцию с помощью полинома Лагранжа и кубическими сплайнами. Замена функции f(x) интерполяционным многочленом приводит к погрешности интерполирования . Зависимость погрешности интерполирования от числа узлов интерполирования определяет сходимость интерполяционного процесса.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке заданы точки (узлы интерполирования), в которых известны значения функции f(x). Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен

степени n, значения которого в заданных точках , совпадают со значениями функции f(x) в этих точках.

Многочлен , удовлетворяющий условиям:

(1)

называется интерполяционным многочленом для функции f(x), построенным по узлам Интерполяционная формула Лагранжа позволяет представить многочлен в виде линейной комбинации значений функции f(x) в узлах интерполирования. Из условий интерполирования (1) находится выражение для коэффициентов и интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

. (2)

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке для оценивается величиной

, (3)

где , .

Таким образом, интерполирование по формуле Лагранжа имеет n+1 порядок точности.

Интерполяционный процесс для функции f(x) сходится в точке , если существует Равномерная сходимость на отрезке [a,b] означает, что при

Интерполирование сплайнами.

Интерполирование многочленом Лагранжа с использованием большого числа узлов интерполирования часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений по формуле (2). Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию f(x) многочленом невысокой степени (кусочно-полиномиальная интерполяция). Сплайн-функцией (сплайном) называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных. Кубический сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени.

Пусть на [a,b] задана непрерывная функция f(x). Введем сетку с шагом и обозначим Сплайном, соответствующим данной функции f(x) и данным узлам , называется функция s(x), удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом сегменте функция s(x) является многочленом третьей степени

где коэффициенты подлежат определению;

2) функция s(x) , а также ее первая и вторая производные непрерывны на [a,b];

3) (условие интерполирования).

Из условий (1)-(3) для определения коэффициентов получается система уравнений

(4)

(5)

Система уравнений (4) имеет трехдиагональную структуру и решается методом прогонки. Остальные коэффициенты определяются по явным формулам (5).

Если кубический сплайн, построенный для функции f(x), то для справедливы оценки:

Из этих оценок следует, что при последовательности сходятся соответственно к функциям .

Формулы метода прогонки

Метод прогонки, являющийся вариантом метода последовательного исключения неизвестных, предназначен для численного решения систем линейных алгебраических уравнений для с трехдиагональной матрицей вида

Прямым ходом метода прогонки является вычисление прогоночных коэффициентов по рекуррентным формулам:

На обратном ходе вычисляются неизвестные значения :