2 Примеры задач с решениями
2.1 Задачи на основные понятия и теоремы теории вероятностей
З
адача
2.1.1
Покупатель приобрёл телевизор и магнитофон. Вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор, равна 0,85, а для магнитофона она равна 0,98. Найти вероятность того, что
а) оба они выдержат гарантийный срок службы;
б) хотя бы один из них не выдержит гарантийного срока службы.
Решение:
Рассмотрим события:
А - в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор,
В - в течение гарантийного срока не выйдет из строя магнитофон.
По условию задачи
Р(А) = 0,85; Р(В) = 0,98.
а) Пусть событие С заключается в том, что оба они выдержат гарантийный срок службы, тогда С = А· В.
Так как события А и В независимы, то по теореме (13) умножения вероятностей Р(С) = Р(А)· Р(В). То есть Р(С) = 0,85· 0,98 = 0,833 ≈ 83 %.
б) Пусть событие
D
заключается в том, что хотя бы одно
изделие не выдержит гарантийного срока
службы. Тогда событие
означает, что оба изделия будут исправны:
= С
= А·
В,
Р(
)
= 0,833. Найдём P(D):
P(D) = 1 – P( ) = 1 - 0,833 = 0,167 ≈ 17 %.
Ответ: а) вероятность того, что оба изделия выдержат гарантийный срок службы, равна 83 %; б) вероятность того, что хотя бы одно из них не выдержит гарантийного срока службы, равна 17%.
Задача 2.1.2
Предполагая, что для шахматиста в каждой партии равновероятны три исхода: выигрыш, ничья и проигрыш, найти вероятность того, что из четырёх партий шахматист
а) не проиграет ни одной партии;
б) проиграет хотя бы две партии.
Решение:
а) Рассмотрим события: Н1 – выигрыш, Н2 – ничья, Н3 – проигрыш, В – шахматист не проиграет ни одной партии; Вi – шахматист не проиграет i - ую партию, i = 1, 2, 3, 4.
При этом, Вi = Н2 + Н3, а В = В1 ·В2 ·В3 ·В4. Так как события Вi независимы, то согласно формуле (13), Р(В) =Р(В1)·Р(В2)·Р(В3)·Р(В4).
Найдём вероятности событий Вi:
По условию задачи
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3),
а так как эти события образуют полную
группу в случае одной партии, то
вероятность каждого из них р
=
.
Тогда, согласно формуле (10), так как
события Н2
и Н3
несовместны, Р(Вi)=
+
=
.
Следовательно,
б
)
Пусть события Сi
означают проигрыш i
партий, i
= 0, 1, 2, 3, 4. Тогда событие С
– проиграть хотя бы две партии – можно
выразить следующим образом:
.
Событием,
противоположным С,
будет событие
,
при этом
.
Найдём вероятность
.
Так как события
несовместны,
по теореме сложения вероятностей (10)
получим:
.
При этом
Так как
для каждой парии, а все партии –
независимые испытания, то для отыскания
можно использовать формулу Бернулли
(16):
.
Тогда
а
Ответ: а) вероятность того, что из четырёх партий шахматист не проиграет ни одной партии, равна 20%; б) вероятность того, что из четырёх партий шахматист проиграет хотя бы две партии, равна 41%.
Задача 2.1.3 (о встрече)
Двое приятелей договорились встретиться с 10 до 11 часов в определенном месте, причём пришедший первым ждет в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность встречи.
Решение:
П
усть
событие А
соответствует встрече. Если за х
обозначить время прихода первого
товарища, а за у
– второго, то условие их встречи можно
задать системой неравенств:
На плоскости хОу
область
,
соответствующая общему числу исходов,
будет определена системой
,
а область D,
соответствующая числу исходов,
благоприятствующих событию А,
определяется неравенством
(рисунок 1).
Из последнего неравенства получим:
Тогда по определению геометрической вероятности (8), вероятность события А будет равна:
Рисунок 1 – Области для отыскания геометрической
вероятности в задаче 2.1.3
Ответ:
вероятность встречи равна
Задача 2.1.4
Доказать, что для
событий А
и В
выполняется:
,
где
- невозможное событие.
Решение:
По свойствам действий над событиями (стр. 9) получим:
