Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МС 1. Теория ветностей. Повторение. СВ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2019

Размер:

5.78 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Название контрольной работы по мс:

Определение параметров линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Прогнозирование одного фактора на основе другого.

1 Основные понятия и теоремы

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (при неоднократных испытаниях) протекает каждый раз несколько по-иному.

Опыт (испытание) – всякое осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.

Событие - возможный результат опыта.

Случайное событие – событие, которое при осуществлении данного опыта может наступить, а может и не наступить.

Достоверное событие (U) – событие, которое при осуществлении данного опыта всегда наступит.

Невозможное событие (V) – событие, которое при осуществлении данного опыта никогда наступит.

Равновозможные события – события, для которых при осуществлении данного опыта нет оснований считать, что возможность появления одного из них больше, чем другого.

Несовместные события – события, которые при осуществлении данного опыта не могут наступить одновременно (появление одного из них исключает появление других в одном и том же опыте).

Полная группа событий (совокупность единственно возможных событий) – группа таких событий, для которых выполняется: в результате данного опыта обязательно происходит и только одно из них.

Противоположные события – события А и , для которых выполняется: в результате данного опыта наступление А равносильно тому, что не наступит.

Элементарные исходы (случаи, шансы) – равновозможные, несовместные события, образующие полную группу событий.

Пространство элементарных исходов – совокупность элементарных исходов . Часто используют обозначение: . Любой результат эксперимента (событие) - это точка пространства . Если можно считать, что ни один из элементарных исходов (случаев) не является предпочтительным, т.е. исходы равновозможны, каждому элементарному исходу можно приписать число . Это число называют вероятностью данного случая. Таким образом, для нахождения вероятности необходимо найти число элементарных исходов.

Благоприятные (благоприятствующие) случаи (для события) – случаи, при которых данное событие наступает. Появление благоприятного случая является проявлением данного события.

Классическое определение вероятности

Пусть m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятностью события А называется отношение m/n:

Р(А) = m/n. (1)

Свойства вероятности

для достоверного события U выполняется: Р(U) = 1;
для невозможного события V: Р(V) = 0;
для случайного события A: 0 < P(A) < 1;
для любого события В: 0 ≤ Р(В) ≤ 1.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиняющихся определённым условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Правило суммы

Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а В – другими k способами, то выбрать объект А+В (А или В) можно m+k способами.

Правило произведения

Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а после каждого такого выбора объект В может быть выбран k способами, то выбор упорядоченной пары АВ (А∙В, А и В) может быть произведён m∙k способами.

Размещения – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений :

. (2)

Перестановки – комбинации, составленные из n различных элементов по n элементов, отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок :

. (3)

Сочетания – комбинации, составленные из данных n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний :

. (2)

Перестановки с повторениями – комбинации, составленные из данных n элементов, среди которых n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т.д.: n₁ + n₂ + …+ n_k= n. Число перестановок с повторениями можно подсчитать по формуле:

. (5)

Размещения с повторениями – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (элементы в таких комбинациях могут повторяться, при этом может оказаться, что n ≤ m). Число размещений с повторениями находят по формуле:

. (6)

Сочетания с повторениями – комбинации, составленных из n различных элементов по m элементов, элементы в которых могут повторяться, но в отличие от числа размещений с повторениями, последовательность при выборе элементов не важна. Число таких комбинаций находят по формуле:

. (7)

Геометрическая вероятность – обобщение классической вероятностной модели с конечным или счётным числом равновероятных элементарных исходов. Пусть пространству элементарных исходов соответствует некоторый выделенный объём (площадь или длина ); а событию А соответствует некоторая область с объёмом (площадью или длиной ). Тогда вероятностью события А можно считать отношение:

. (3)

Статистическая вероятность – число, близкое к m/n при неограниченном возрастании n – числа независимых испытаний, если m – число появлений события А в этой серии из n испытаний. Величина m/n называется относительной частотой события А (или частостью). При этом справедлива теорема Бернулли (частный случай теоремы Чебышева - одного из законов больших чисел [1, с. 97]). Согласно этой теореме, в описанной ситуации для любого положительного числа предел вероятности события равен 1:

Предел, используемый в теореме Чебышева, называют пределом по вероятности. Таким образом, практически достоверным при больших значениях n является событие: вероятность р события А сколь угодно близка к его относительной частоте m/n.

Сумма или объединение событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведение (пересечение) событий – событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Сумму трёх событий (А₁, А₂, А₃) можно рассмотреть как сумму события (А₁+А₂) и события А₃; аналогично для четырёх, пяти событий и так далее (так же и произведение нескольких событий).

Обобщая понятия, связанные с действиями над событиями, на множестве событий вводят алгебраические операции (используя символику действий над множествами):

объединение (сумма) двух событий А и В – событие С, такое, что ;
дополнение (противоположное событию А) – событие , такое, что ;
пересечение (произведение) двух событий А и В – событие С, такое, что ;
следствие (из А следует В, А включается в В, А влечёт В): ;
невозможное событие ;
достоверное событие ;
разность двух событий А и В – событие С, такое, что ;
симметрическая разность двух событий А и В – событие С, такое, что

Алгебра событий

Множество событий S называется алгеброй событий, если выполняются следующие условия (аксиомы событий):

;

Припишем каждому элементарному событию (исходу) некоторый «вес» – вероятность исхода . Совокупность вероятностей должна удовлетворять условиям:

В этом случае вероятность некоторого события А определяется формулой: . При этом тройка , где , а S – некоторая алгебра подмножеств [2, с. 54], определяет вероятностную модель, или вероятностное пространство, обладающее свойствами:

Свойства действий над событиями

– коммутативность;

– ассоциативность;

– дистрибутивность;
;
;
;
;
;
;
.

Теорема сложения вероятностей

вероятность суммы двух событий А и В можно найти по формуле:

, (9)

если события несовместны, то

; (4)

вероятность суммы n событий:

(11)

Терема умножения вероятностей

вероятность произведения двух событий

; (12)

если события А и В независимы, то

; (5)

вероятность произведения n событий

;

если события независимы в совокупности (т.е. каждое событие из совокупности попарно независимо с остальными, а также со всевозможными произведениями остальных событий), то .

Формула полной вероятности

Пусть задана полная группа событий: {H₁,H₂, …, H_n}. Для них выполняется: . Тогда вероятность некоторого события А, зависимого от H₁,H₂, …, H_n можно найти по формуле:

. (6)

Формула Байеса

для событий А и В:

;

для полной группы событий (гипотез) вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна:

. (7)

Формула Бернулли

Пусть при проведении серии n независимых испытаний в каждом из них событие А происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью . Пусть при этом событие В заключается в том, что событие А в серии n независимых испытаний произошло m раз. Тогда вероятность события В можно найти по формуле:

. (8)

Локальная формула Муавра-Лапласа (предельная теорема Муавра-Лапласа):

. (17)

Формула даёт наиболее точное значение при n > 100, а npq > 20.

Исходя из формулы Муавра-Лапласа, вероятность события В (в серии n независимых испытаний событие А произошло m раз) можно также получить, используя функцию Гаусса (её значения приведены в приложении Б): , тогда

. (9)

Интегральная формула Муавра-Лапласа

При большом числе испытаний в качестве события В рассматривают событие, заключающееся в том, что число успехов (наступлений события А) лежит в некотором интервале. Тогда справедлива интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа:

(19)

Так как значения функции (функции Лапласа) известны (приложение Б), то вероятность события В, исходя из интегральной формулы Муавра-Лапласа, находят следующим образом:

(10)

Формула Пуассона

Нахождение вероятности события B (в серии n независимых испытаний событие А произошло m раз) по формуле Бернулли при больших затруднителен. Но в случае малой вероятности успеха, можно оценить вероятность B следующим образом: если и , то . Обозначив , получим:

. (11)

Параметр равен среднему числу успехов в серии из испытаний, т.е. ожидаемому числу успехов, где под понимается частота успеха.

Случайные величины

Случайная величина – переменная величина, которая принимает значения в зависимости от исходов испытания, т.е. случайным образом. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены, [1, с. 57].

Дискретная случайная величина – случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, принимающая значения из некоторого промежутка.

Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между значениями этой величины и их вероятностями . Закон распределения дискретной случайной величины задаётся таблично или аналитически:

табличное задание (табл.1)

Таблица 1 – Закон распределения дискретной случайной величины Х

Х
Р

аналитическое:

, при этом , [3, c. 52].

Законы распределения дискретных случайных величин

Равномерное распределение – распределение случайной величины Х с законом распределения (табличное задание - в табл. 2).

Таблица 2 – Равномерный закон распределения дискретной случайной величины Х

Х
Р

При этом выполняется: .

Пример: Х – число выпадений герба при подбрасывании монеты.

Биномиальное распределение – распределение случайной величины Х, равной числу наступлений события А в серии n независимых испытаний. В каждом из них событие А наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1- p. Аналитически биномиальный закон распределения можно задать с помощью формулы Бернулли:

(табличное задание - в табл. 3)

Таблица 3 – Биномиальное распределение дискретной случайной величины Х

Х	0	1	2	…	n
Р

Геометрическое распределение – распределение случайной величины Х, равной номеру опыта, в котором первый раз наступило событие А в серии n независимых испытаний. В каждом из них событие А наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q = 1 - p. Геометрический закон распределения можно задать с помощью формулы (22), табличное задание - в таблице 4.

(12)

Таблица 4 – Геометрическое распределение дискретной случайной величины Х

Х	1	2	3		n	…
Р						…

Гипергеометрическое распределение – распределение случайной величины Х, равной числу элементов с заданными свойствами в выборке m элементов из n. Если в выборке содержится k элементов с заданными свойствами, то гипергеометрический закон распределения можно задать с помощью формулы:

. (23)

Законы распределения непрерывных случайных величин

Функция распределения случайной величины F(x) – один из видов закона распределения случайной величины (для дискретных и непрерывных величин). Функция распределения принимает значения, равные вероятности события :

. (13)

Функция F(x) - неубывающая функция, принимающая значения на интервале [0; 1]. Дискретная случайная величина имеет счётное число разрывов, равное n - числу её значений. В точке разрыва функция распределения непрерывна слева. Скачок функции F(x) в точке разрыва равен соответствующему значению вероятности .

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, поэтому её F(x) может иметь производную. Скачков функция F(x) не имеет, следовательно, .

Плотность распределения f(x) (плотность вероятности) случайной величины Х – производная функции распределения, так же как и её функция распределения F(x) является законом распределения непрерывной случайной величины:

. (14)

Функция f(x) неотрицательна. Для неё выполняется:

;
;
.

Некоторые виды законов распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение случайной величины Х – распределение, для которого выполняется: плотность распределения постоянна на некотором отрезке и равна нулю вне этого отрезка:

Так как , можно получить:

(15)

Показательное распределение случайной величины Х – распределение, для которого выполняется: плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

(27)

При этом функция распределения случайной величины Х равна:

(28)

Нормальное распределение случайной величины Х – распределение, для которого выполняется:

(29)

В случае нормального распределения говорят, что непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , а саму случайную величину Х называют нормальной случайной величиной ( ). Её функцию распределения можно найти следующим образом: