Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение Пусть функция определена на и является предельной точкой. Если существует конечный предел

то он называется производной функцией в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

_____

Определение Если существует конечный предел , то говорят, что график функции имеет касательную в точке . Уравнение называется уравнением касательной, а число - угловым коэффициентом касательной.

ЗАМЕЧАНИЕ Касательная в смысле данного определения удовлетворяет соотношению из общего определения касательной.

СЛЕДСТВИЕ (геометрический смысл производной) График функции имеет касательную в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в . В этом случае угловой коэффициент касательной .

Определение Если график функции имеет касательную в точке , то прямая проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику в .

ЗАМЕЧАНИЕ Так как вектор нормали к касательной перпендикулярен вектору , то уравнение нормали можно записать в виде

____

Определение Правой (левой) производной функции в точке называется конечный предел , если он существует.

ТЕОРЕМА (правила дифференцирования) 1) .

2) 3) в тех точках, где знаменатель не равен нулю. 4) Пусть монотонна, непрерывна в окрестности и дифференци- руема в и  , . Тогда обратная функция  монотонна, непрерывна в окрестности точки , дифференцируема в и . 5) (производная сложной функции) Пусть функция определена в окрестности   и дифференцируема в ; пусть определена в окрестности  и дифференцируема в . Тогда функция

дифференцируема в окрестности и .

_____

Определение Пусть функция определена в окрестности точки . Говорят, что - дифференцируема (расчленима) в точке если , где есть БМ при . Если дифференцируема в , то слагаемое называется дифференциалом функции . Обозначение .

ТЕОРЕМА (свойства дифференциала). 1) Функция дифференцируема в тогда и только тогда, когда она имеет производную в . При этом .

2) . 3) . 4) .

5) (инвариантность дифференциала при замене) Если функция дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в и .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Ввиду первого утверждения теоремы термины "дифференцируемая функция" и "функция, имеющая производную" взаимозаменяемы.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 (геометрический смысл дифференциала) Так как уравнение

касателной к графику функции в точке имеет вид , то дифференциал в точке совпадает, очевидно, с приращением ординаты касательной, проведенной в этой точке.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 При условии имеет место приближенное равенство , которое используется для приближенного вычисления значений функции.

_____

Определение Производной нулевого порядка функции в точке называется ее значение в этой точке. Пусть существует производная - го порядка в каждой точке некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел

,

то он называется производной n-го порядка функции в точке .

Обозначение . Исторически приняты обозначения .

Определение (физический смысл производной). Пусть материальная точка движется вдоль оси по закону . Средней скоростью движения на промежутке называется величина . Мгновенной скоростью движения в момент времени называется

.

Средним ускорением на промежутке называется величина . Мгновенным ускорением в момент времени называется

.

_____

Определение Функция называется дифференцируемой на множестве , если она имеет производную в каждой точке .

ТЕОРЕМА Пусть функции , непрерывны на , дифференцируемы на и . Тогда: 1) (теорема Ролля) если , то . 2) (теорема Коши) . 3) (правило Лопиталя) Если и существует конечный предел , то существует и он равен .

СЛЕДСТВИЕ (формула Лагранжа) Теорема Коши при принимает вид .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функции дифференцируемы на и или , то из .

_____

Определение Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если . Точки

локальных максимумов и минимумов называются точками локального экстремума.

ТЕОРЕМА (о локальном экстремуме) 1) Если не возрастает (не убывает) и дифференцируема на , то .

2) Если , то возрастает (убывает) на .

3) (теорема Ферма) Если - точка локального экстремума функции , и дифференцируема в , то .

4) (первое достаточное условие экстремума). Пусть дифференцируема на , . Если и , то - точка максимума (минимума) на .

5) (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть имеет вторую производную и . Если , то - точка локального максимума (минимума).

Определение Пусть функция определена на , и ее график имеет

касательную в каждой точке . Говорят, что эта кривая выпукла (вогнута) на , если она лежит выше (ниже) любой своей касательной.

Определение Точка , называется точкой перегиба кривой, если эта кривая выпукла (вогнута) на и вогнута (выпукла) на .

ТЕОРЕМА Пусть дважды дифференцируема на . 1) (необходимые условия выпуклости) Если кривая выпукла (вогнута) на , то не убывает (не возрастает) на и . 2) (достаточные условия выпуклости) Если монотонно возрастает (убывает) на или , то кривая выпукла (вогнута) на . 3) (необходимые условия точки перегиба). Если - точка перегиба кривой, то .

Важной характеристикой гладкой кривой и одновременно мерой ее выпуклости является понятие кривизны.

Определение Пусть дана гладкая кривая , то есть функции непрерывно дифференцируемы на и все ее точки неособые. Обозначим угол наклона касательной в точке кривой, а - длину дуги между точками этой кривой. Предел отношения приращения угла наклона касательной к длине соответствующей дуги, если он существует, называется кривизной кривой в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ Если функции дважды дифференцируемы, то кривизна кривой в точке вычисляется по формуле .

СЛЕДСТВИЕ Если кривая задана уравнением , то .

Из этой формулы и предыдущей теоремы следует, что положительное значение кривизны означает выпуклость, а отрицательное значение - вогнутость кривой в соответствующей точке. Кривыми с нулевой кривизной являются прямые и только они.

_____

Определение Пусть функция определена на некотором интервале и имеет на нем производные до -го порядка включительно. Многочлен степени называется многочленом Тейлора. Разность - остаточным членом. Формула - формула Тейлора.

ТЕОРЕМА (свойства формулы Тейлора) 1) Многочлен Тейлора является единственным многочленом степени , который удовлетворяет равенствам:

.

2) Остаточный член можно представить в форме Лагранжа

, где число находится между и .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 В теореме остаточный член можно записать менее точно, в форме Пеано .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 При формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа совпадает с формулой Лагранжа. При формула Тейлора с остаточнымчленом в форме Пеано совпадает с формулой дифференциала.

ЗАМЕЧАНИЕ Для положим . Тогда

.

Формула Тейлора позволяет решать следующие три задачи.

1) По заданным степени многочлена и длине отрезка оценить в терминах величину отклонения от на

2) При заданным длине отрезка и точности определить степень многочлена , отклонение которого от на не превышает .

3) По заданным степени многочлена и точности определить максимальную длину отрезка , на котором отклоняется от не более, чем на .

_____

В заключение параграфа рассмотрим два случая расположения асимптот неограниченной кривой.

1) Асимптота вертикальная. В этом случае расстояние от переменной точки кривой до асимптоты ,

когда стремится к бесконечности. Отсюда необходимо .

2) Асимптота наклонная. По определению асимптоты .

_____

Определение Пусть функции определены на непустом множестве , являющемся общей частью их областей определения. Выражение вида называется функциональным рядом. Множество точек , в каждой из которых соответствующий числовой ряд сходится, называется множеством сходимости функционального ряда.

ЗАМЕЧАНИЕ Если существует или , то в силу признаков

соответственно Даламбера и Коши степенной ряд абсолютно сходится во всех

точках интервала и расходится во всех точках вне отрезка . называется интервалом сходимости, а число - радиусом сходимости степенного ряда .

Определение Функция , определенная на множестве

, называется суммой функционального ряда. При этом для степенного ряда

удобно обозначать .

Определение Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к своей сумме , если .

Понятие равномерной сходимости позволяет перенести свойство непрерывности членов ряда на его сумму.

ЗАМЕЧАНИЕ Если функции непрерывны на множестве равномер- ной сходимости , то и сумма ряда непрерывна на этом множестве.

Определение Если функция имеет производные любого порядка в точке , то степенной ряд вида называется рядом Тейлора функции . В случае ряд называется рядом Маклорена функции .

Определение Пусть функция имеет производные любого порядка в точке и пусть - радиус сходимости ее ряда Тейлора. Если на совпадает с суммой этого ряда, то называется аналитической функцией на

ТЕОРЕМА (свойства функциональных рядов) 1) Если и числовой ряд сходится, то ряд равномерно сходится на .

2) Пусть функции непрерывны отрезке и ряд равномерно сходится на . Тогда его можно почленно интегрировать: числовой ряд сходится к . 3) Пусть функции имеют непрерывную производную на отрезке . Пусть ряд сходится в некоторой точке , а ряд из производных равномерно сходится на . Тогда функциональный ряд равномерно сходится на к дифференцируемой функции и .

4) Сумма степенного ряда имеет производные любого порядка в каждой точке интервала сходимости, причем

.

5) Если функция представима в окрестности точки в виде суммы степенного ряда , то необходимо , то есть она необходимо продолжается до аналитической функции на интервале сходимости ряда.

6) Функция аналитическая на и ;

функция аналитическая на и ;

функция аналитическая на и ;

функция аналитическая на и ;

функция аналитическая на и .