Глава 2
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА И НАИЛУЧШИЕ РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Дается определение многочленов Чебышева первого рода и изучаются их свойства. Показывается, что погрешность интерполирования гладкой функции многочленом фиксированной степени будет наименьшей, когда в качестве узлов интерполяции используются корни многочленов Чебышева. Приводится (без доказательства) теорема о чебышевском альтернате, служащая теоретической основой построения наилучших равномерных приближений, и рассматриваются простейшие ситуации, когда такие многочлены могут быть построены. Обсуждается идея использования разложения функций в степенные ряды для получения многочленов, близких к многочленам наилучших равномерных приближений.
2.1. Определение и свойства многочленов Чебышева
Определение2.1. Многочленом Чебышева^ называется функция
Т„ (х) := cos(n arccos x), (2.1)
где neN0, xe [-1,1].
Прежде всего убедимся, что функция Тп(х), представленная с помощью тригонометрических функций, на самом деле является многочленом при любом η = О,1, 2,
Непосредственной подстановкой в (2.1) значений η-0 и η -1 получаем Tq(χ) = 1, Τ\ (χ) = χ.
*
\
;
Чебышёв
Пафнутий Львович (1821—1894) — знаменитый
русский
математик. Его работы о многочленах наилучшего равномерного приближения легли в основу конструктивной теории функций. Стандартное обозначение Т„(х) можно соотнести с немецким написанием фамилии Tschebyschew.