2.1.3 Воздействие суммы гармонических колебаний

на цепь с нелинейным элементом

Рассмотрим спектральный состав тока при бигармоническом воздействии. Бигармоническим воздействием называется сигнал, состоящий из суммы двух гармонических колебаний с различными частотами w₁ и w₂ и амплитудами U_m1 и U_m2:

(2.21)

Пусть па вход нелинейного элемента, ВАХ которого аппроксимирована полиномом второй степени

(2.22)

подано напряжение смещения U₀ и бигармонический сигнал u(t).

Подстановка напряжения u = U₀ + U_mlcosw₁t + U_m2cosw₂t в выражение для ВАХ позволяет определить ток в цепи нелинейного элемента в виде:

(2.23)

Используя тригонометрические формулы, получим:

(2.24)

Спектральный состав тока в цепи с нелинейным элементом показан на рисунке 2.3.

Принципиально новым по сравнению с воздействием на нелинейный элемент одного гармонического колебания здесь является появление спектральных составляющих с комбинационными частотами w₁+w₂ и w₁-w₂. Если ВАХ нелинейного элемента аппроксимирована в общем случае полиномом степени N, то в спектральном составе тока будут присутствовать составляющие с комбинационными частотами рw₁ ± qw₂, причем p+q = N, где р и q – целые положительные числа (0, 1, 2, ...).

В общем случае входное воздействие можно представить бесконечной суммой:

(2.25)

В зависимости от степени N аппроксимирующего полинома в спектре тока, протекающего через нелинейный элемент, появляются комбинационные частоты вида: pw₁ ± qw₂ ± sw₃ ± ... ± kw_k ± ...; p + q + s + ... + k + ... = N; p, q, s, k – целые положительные числа.

Вопросы для самотестирования

1 Чем заменяются источники тока i(t) и напряжения u(t) при составлении эквивалентных операторных схем?

2 Приведите формулу операторной передаточной функции по напряжению.

3 В каком случае электрическая цепь, содержащая R, L и С элементы, называется нелинейной?

4 Нарисуйте вольт-амперную характеристику квадратичного нелинейного элемента.

5 Что отражает собой понятие «дифференциальное сопротивление» нелинейного элемента?

2.2 Явление взаимной индукции

При протекании тока i₁ в катушке индуктивности с параметром L₁ в окружающем пространстве, согласно закону электромагнитной индукции, создается магнитный поток Ф₁₁. Если какая-либо часть этого потока Ф₁₂ пронизывает витки другой катушки с L₂, то в последней наводится ЭДС взаимной индукции, определяемая законом Максвелла–Фарадея:

, (2.26)

где М₁₂ – коэффициент взаимной индуктивности катушек L₁ и L₂.

Единица измерения взаимной индуктивности – Генри (Гн). Знак «–» в уравнении (2.26) определяется согласно правилу Ленца, направлением индукционного тока, который имеет такую ориента­цию, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал тому изменению магнитного потока Ф₁₂, которое этот ток вызывает.

Напряжение взаимоиндукции на зажимах катушки индуктивности L₂:

(2.27)

Если напряжение u приложено к катушке индуктивности L₁, то под действием тока i₂ в катушке L₁ также будет наведена ЭДС взаимной индукции:

(2.28)

В соответствии с принципом взаимности для линейных цепей М₁₂ = М₂₁.

Рассмотренная выше индуктивная связь носит односторонний характер: ток i₁ вызывает ЭДС взаимоиндукции е_М2 или ток i₂ вызывает ЭДС e_M1. (В случае замыкания катушки L₂ на конечное сопротивле­ние R в последней под воздействием u_м2 потечет индукционный ток i₂, который, в свою очередь, вызовет в первой катушке L₁ ЭДС взаимоиндукции е_М1.) Таким образом, установится двухсторонняя индуктивная связь катушек L₁ и L₂. При этом каждая из катушек L₁, и L₂ будет пронизываться двумя магнитными потоками: самоиндукции, вызванным собственным током, и взаимоиндукции, вызванным током другой катушки.

Следовательно, в катушке L₁ индуцируется ЭДС

(2.29)

а в катушке L₂ ЭДС:

. (2.30)

Взаимное направление потоков само- и взаимоиндукции зависит как от направления токов в катушках, так и от их взаимного расположения. Следовательно, для определения вида включения L₁ и L₂ на схеме достаточно определить, как ориентированы токи i₁ и i₂ относительно одноименных зажимов (на рисунке 2.6 обозначены точкой): при одинаковой ориентации имеем согласное, a при разной – встречное включение.

То есть если катушки включаются таким образом, что потоки само- и взаимоиндукции складываются, то такое включение называется согласным. Если же потоки само- и взаимоиндукции вычитаются, то такое включение принято называть встречным.

Рисунок 2.6 – Согласное и встречное включение катушек индуктивности

Степень связи между L₁ и L₂ характеризуют коэффициентом связи где . Магнитные потоки Ф₁₂, Ф₂₁, Ф₁₁ и Ф₂₂ можно выразить через параметры катушек L₁ и L₂, М₁₂, М₂₁ и токи i_l, i_2­. После подстановки получены формулы для коэффициента связи:

(2.31)

где М₁₂ = М₂₁ = М. Значение k изменяется в пределах от 0 (отсутствие связи) до 1 (сильная связь).