1.7.1 Мощность в цепях при гармонических воздействиях

Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздействием источника гармонического напряжения, в форме двухполюсника. Под воздействием напряжения u = U_msinwt в цепи будет протекать ток i = I_msin(t – ). Отдаваемая источником в цепь за период Т средняя мощность:

. (1.75)

По закону Ома U = IZ или (так как Z = R/cosj) U = RI/cos . И P = I²R = U²G.

Таким образом, средняя за период мощность Р равна мощности, рассеиваемой на активном сопротивлении (проводимости) цепи. В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в ваттах (Вт).

Кроме активной мощности Р, в цепях гармонического тока используют понятие реактивной мощности Q = UIsin = I²X = U²B, и комплексной мощности = = P + jQ = UIcosj + jsinj = UIe^jj = Ie^-jj = . Модуль комплексной мощности называется полной мощностью:

. (1.76)

Единица измерения реактивной и полной мощности – В·А. Активная мощность равна реальной части, а реактивная – мнимой части комплексной мощности . А также cos = P/S.

Это отношение в энергетике называется коэффициентом мощности (косинусом ) и является важной характеристикой электрических машин и линий электропередач. Чем выше cos тем меньше потери энергии в линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов. Максимальное значение cos = 1, при этом P = S; Q = 0, т. е. цепь носит чисто активный характер и сдвиг фаз между током i и напряжением u равен нулю.

Условие передачи максимальной мощности от генератора в нагрузку можно найти из условия: , где – комплексное внутреннее сопротивление источника; – комплексно-сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие следует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы, приведенной на рисунке 1.17.

Рисунок 1.17 – Передача мощности в нагрузку

Ток в данной цепи достигает максимума при Х_г = –Х_н и выполнении условия R_г = R_н, что и доказывает равенство . При этом мощность в нагрузке будет определяться уравнением: р_нmax = u_г²/(4R_г).

По аналогии с треугольниками токов, напряжений и сопротивлений можно ввести треугольники мощностей. Так, треугольники мощностей для цепей, носящих индуктивный или ёмкостной характер, приведены на рисунке 1.17.

Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармоническом воздействии. В силу справедливости первого и второго законов Кирхгофа для комплексных действующих значений тока и напряжения в каждой из ветвей рассматриваемой цепи можно записать теорему Телледжена в комплексной форме:

. (1.77)

Однако поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряженным токам , то можно записать:

. (1.78)

Это уравнение отражает баланс комплексной мощности, согласно которому сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи, равна нулю.

Баланс комплексной мощности можно сформулировать и в другой форме: сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи:

. (1.79)

Из условия баланса комплексной мощности следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

; . (1.80)