Задача 5

Небольшая муфта массы m находится на гладком горизонтальном стержне, который вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Муфта удерживается нитью, конец которой прикреплен к оси, на расстоянии r₀ от неё. В некоторый момент нить пережигают. Найти скорость муфты относительно стержня в тот момент, когда она находится на расстоянии r от оси.

Решение

Эту задачу удобнее всего решать, рассматривая движение муфты относительно вращающейся системы отсчета, жестко связанной со стержнем. Движение муфты в этой системе отсчета происходит вдоль стержня и вызвано центробежной силой, остальные три силы, действующие на муфту - сила тяжести, сила реакции стержня и сила Кориолиса направлены перпендикулярно стержню и, следовательно, их сумма равна нулю. Центробежная сила потенциальна, работа же трех других сил равна нулю, поэтому мы можем найти скорость муфты с помощью закона сохранения энергии:

(1).

Рис. 1

Здесь мы учли, что в начальный момент муфта находилась на расстоянии r₀ от оси и покоилась, потенциальная энергия тела в поле центробежной силы равна –m²r²/2, где r – расстояние тела от оси вращения. Из (1) находим:

.

Решение, как видим, очень простое. Но возникает вопрос, а как объяснить полученный результат с точки зрения наблюдателя, следящего за движением муфты из неподвижной системы отсчета, ведь в этой системе отсчета никаких сил инерции нет.

Рис. 2

На муфту в неподвижной системе отсчета действуют две силы – тяжести mg и реакции стержня N. Разложим силу реакции на вертикальную Р и горизонтальную Q составляющие, тогда Р уравновешивается силой тяжести, и равнодействующая сил mg и N, действующих на муфту, оказывается равной Q. Очевидно, именно эта сила и изменяет скорость муфты. Действительно, работа силы Q не равна нулю, т.к. она не перпендикулярна скорости муфты, которую, в свою очередь, можно представить как сумму относительной скорости муфты (она направлена вдоль стержня) и переносной скорости стержня, которая перпендикулярна стержню и равна по модулю r.

Найдем мощность силы реакции:

(Q,V) = (Q,V_пер+ V_отн) = (Q,V_пер) = Qr.

Мощность силы, действующей на муфту равна производной по времени от кинетической энергии муфты:

Выполняя дифференцирование, получим уравнение

Но , таким образом:

(2).

Сила Q нам неизвестна. Ее можно найти из уравнения моментов, примененного к муфте. Действительно момент L_z импульса муфты относительно оси вращения равен mrV_пер, но V_пер = r, тогда:

L_z =mr2.

Найдем производную по времени от L_z:

Найдем теперь момент относительно оси вращения сил, действующих на шайбу. Этот момент равен по модулю Qr, т.к. сила Q перпендикулярна стержню. Таким образом, уравнение моментов имеет вид:

2mrV_отн = Qr,

откуда находим:

Q = 2mV_отн (3).

Из (2) и (3) получаем:

,

откуда найдём:

(4).

Умножим (4) на V_отн = dr/dt и учтем, что:

Тогда (4) преобразуется следующим образом:

Из последнего уравнения получаем:

(5).

Из начального условия:

V_отн = 0 при r = r₀

найдём константу в правой части:

Тем самым, уравнение (5) приобретает вид:

откуда находим скорость:

Как видим, оба подхода вновь дали одинаковый результат, но решение задачи в неинерциальной системе отсчета оказалось значительно проще.