Задача 6

Через неподвижный блок перекинута верёвка, к одному из концов которой привязан груз массой m. С какой силой необходимо тянуть второй конец верёвки, чтобы груз начал подниматься? Коэффициент трения между верёвкой и поверхностью блока k. Как изменится ответ, если верёвку обмотать вокруг блока несколько раз? Верёвку считать невесомой и нерастяжимой.

Решение

Пусть верёвка скользит по блоку с постоянной скоростью. Тогда сила натяжения верёвки на конце, к которому привязан груз, равна силе тяжести, действующей на груз. Рассмотрим небольшой участок верёвки, концы которого видны под углом d из центра блока (см. Рис. 1). На этот участок действуют четыре силы: нормальная составляющая dN – силы реакции блока, dF_тр – сила трения, Т и Т' – силы натяжения верёвки, приложенные к противоположным сторонам выделенного участка. Поскольку верёвка невесома, то сумма указанных сил равна нулю. Проецируя силы на направления касательной к блоку (ось X) и радиальное направление (ось Y), получим систему уравнений:

Рис. 1

Обозначая dT = Т'– Т и учитывая, что сила трения скольжения dF_тр=kdN, получим систему уравнений:

откуда:

Интегрируя обе части этого уравнения, найдём:

lnT = k +C.

Здесь С – постоянная интегрирования. Она находится из начальных условий:

Т =mg при  = 0.

Откуда находим С = ln(mg), и силу натяжения:

.

Если верёвка накинута только сверху на блок, как это изображено на Рис. 1, то сила натяжения на втором свободном конце верёвки, согласно полученному результату равна ( = ):

.

Если же верёвка обмотана вокруг блока n раз, то угол  =  + 2n, откуда:

.

Как видим, сила, необходимая для того, чтобы верёвка начала скользить по блоку, очень быстро возрастает с увеличением числа витков верёвки вокруг блока. Реально это означает, что намотав даже небольшое число витков вокруг блока, вы не сможете сдвинуть верёвку с места, так велика будет необходимая для этого сила.

Задача 7

Рассмотрим материальную точку m внутри тонкого сферического слоя. Доказать, что сила тяготения, действующая на эту материальную точку со стороны слоя равна нулю.

Решение

Для доказательства разобьём всю поверхность сферы на пары малых площадок так, чтобы каждая пара была образована пересечением конического пучка прямых, проходящих через точку т, как это изображено на рис. 1. Силы, с которыми притягивается точка т к получившимся площадкам, пропорциональна массам этих площадок dМ₁ и dМ₂ и обратно пропорциональна квадратам расстояний r₁ и r₂ до этих площадок. Но, в свою очередь, массы площадок пропорциональны их площадям:

dМ₁ =  dS₁ и dМ₂ =  dS₂,

поэтому:

(1).

Рис. 1

Здесь  – масса сферического слоя, приходящаяся на единицу его площади.

Проведём из центра сферического слоя радиусы к площадкам dS₁ и dS₂. Треугольник, образованный этими радиусами и отрезок, соединяющий их концы, является равнобедренным. Пусть  – угол при основании этого треугольника. Спроецируем площадки dS₁ и dS₂ на направление перпендикулярное прямой, соединяющей эти площадки. Площади этих проекций, как нетрудно понять (см. Рис. 2), равны:

dS₁’ = dS₁cos и dS₂’ = dS₂cos (2).

С другой стороны, согласно определению телесного угла, телесный угол d, в пределах которого из точки т видны обе эти площадки, можно записать по-разному:

.

Полученное соотношение совместно с (1) и (2) показывает, силы dF₁ и dF₂ равны. Но это утверждение справедливо для каждой пары таких площадок, поэтому и весь сферический слой не оказывает никакого воздействия на материальную точку, находящуюся внутри него. Из полученного нами результата следует, что и слой конечной толщины также не оказывает никакого воздействия на материальную точку, находящуюся внутри него, поскольку такой слой можно разбить на множество тонких слоёв, каждый из которых не действует на точку, находящуюся внутри него.