Задача 18

Цилиндрическая мельница представляет собой массивный цилиндр (бегун), способный вращаться вокруг своей горизонтальной геометрической оси. Этот цилиндр приводится во вращение вокруг вертикальной оси и катится по горизонтальной опорной плите. Такое движение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа, каковым является бегун. При этом в результате гироскопических эффектов сила давления бегуна на опору возрастает. Эта сила измельчает и растирает материал, подсыпаемый под бегун. Вычислить силу давления бегуна на опору, если его радиус R = 0,5 м, а его рабочая скорость вращения вокруг вертикальной оси n = 1 об/с.

Решение

Рис. 1

Рассмотрим точку А соприкосновения бегуна с поверхностью. Поскольку сколь­жения нет, то скорость этой точки равна нулю. Поэтому скорость центра бегуна О’ можно записать как R, где  – скорость вращения бегуна вокруг горизонтальной оси. С другой стороны, скорость центра бегуна можно записать как  r, где r – расстояние от вертикальной оси вращения до центра бегуна. Откуда выразим  через :

.

Вращение бегуна вокруг горизонтальной оси приводит к появлению у бегуна момента импульса L₁ = I. Вращение бегуна вокруг вертикальной оси сообщает ему момент импульса L₂ = (I+mr²) относительно шарнира О. Таким образом, момент импульса бегуна относительно шарнира О равен:

L = I + I’.

Здесь I’= I+mr². Заметим, что момент L₁ имеет постоянную величину, но направление его непрерывно изменяется, поскольку ось бегуна поворачивается, а вместе с нею поворачивается и вектор . Вектор L₂ сохраняет неизменное направление и величину. Таким образом, производная по времени от вектора момента импульса определяется изменением только момента L₁. Поскольку этот вектор имеет неизменную длину, и вращается вокруг вертикальной оси со скоростью , то его производная находится так же, как и производная радиус-вектора точки, вращающейся вокруг оси с известной угловой скоростью:

.

Нетрудно заметить, что векторное произведение угловых скоростей имеет горизонтальное направление, перпендикулярное оси шара, поскольку вектор  направлен вертикально, а вектор  совпадает по направлению с направлением горизонтальной оси. С другой стороны, согласно уравнению моментов:

,

где М – вектор моментов сил, приложенных к шару. Поскольку момент импульса мы определяли относительно шарнира О, то и момент сил надо определять также относительно центра шара. Но в этом случае момент силы реакции Q со стороны шарнира (см. Рис. 2) равен нулю, поскольку эта сила приложена к шарниру. Тем самым момент сил создают сила тяжести и реакция поверхности:

.

Спроецировав это уравнение на горизонтальное направление, перпендикулярное горизонтальной оси, получим:

Учитывая, что момент инерции цилиндра относительно его диаметра равен 1/2mR², найдём:

Если бегун совершает 1 оборот в секунду вокруг вертикальной оси, то его угловая скорость вращения  = 2, тем самым, выражение в скобках:

Таким образом, сила давления почти вдвое превосходит вес неподвижного бегуна. Если бегун мог бы совершать порядка трёх – четырёх оборотов, то сила давления выросла бы на порядок по сравнению с весом неподвижного бегуна.

Мистики в этом никакой нет. Сила реакции возрастает при движении бегуна благодаря реакции в шарнире (сила Q на Рис. 1). Эта сила имеет вертикальную составляющую, направленную вниз, что и приводит к возрастанию давления бегуна на поверхность. Сравните этот результат с предыдущей задачей.