Решение

Рис. 1

Вследствие суточного вращения Земли система отсчёта связанная с нею является неинерциальной системой отсчёта. В процессе падения тела на него помимо силы тяжести действуют также центробежная сила и сила Кориолиса. Центробежная сила в условиях задачи направлена навстречу силе тяжести и несколько уменьшает ускорение свободного падения тела. Сила Кориолиса направлена перпендикулярно скорости тела, т.е. действует параллельно поверхности земли. Направлена она к западу, поскольку вектор угловой скорости вращения Земли (точки экватора движутся с запада на восток) направлен от южного полюса к северному:

F_кор =2 m[V,].

Угловая скорость вращения Земли весьма мала:

,

здесь Т – продолжительность земных суток.

Ввиду малой величины угловой скорости Земли, можно пренебречь в данной задаче центробежной силой, поскольку она составляет приблизительно 1/300 величины силы тяжести:

Рассмотрим теперь действие силы Кориолиса. Сила эта также мала, поэтому отклонение тела, вызванное этой силой, также относительно невелико. Поэтому при вычислении силы Кориолиса F_кор =2 m[V,] можно в качестве скорости брать ту скорость, которую имело бы падающее тело в отсутствии силы Кориолиса, т.е. V = gt, где t – продолжительность падения тела. Поскольку векторы g и  взаимно ортогональны, величина силы Кориолиса равна:

F_кор =2 mV = 2mgt.

Ускорение Кориолиса:

a_кор = F_кор/m =2V = 2gt.

Если обозначить скорость, приобретаемую падающим телом, под действием силы Кориолиса через U, то для неё, согласно определению ускорения:

,

откуда после интегрирования найдём U:

.

Интегрируя по времени ещё раз, найдём отклонение тела:

.

Подставив сюда время падения тела с высоты H, найдём величину отклонения тела как функцию высоты:

Рассмотрим теперь решение этой же задачи с точки зрения наблюдателя, находящегося в некоторой инерциальной системе отсчёта, например, связанной со звёздами, которые можно считать неподвижными. В этой системе отсчёта всё объясняется как будто бы очень просто: верхушка башни вращается вокруг оси со скоростью (R+H), а поверхность Земли имеет скорость R. Таким образом, тело относительно поверхности Земли движется со скоростью:

(R+H) – R = H,

поэтому за время падения оно отклонится к западу на расстояние:

Ответ мы получили в полтора раза больше, чем в первом случае. Где же истина? Какое решение ошибочно? Разгадка не столь проста, как оказывается. Дело в том, что для получения правильного ответа необходимо учитывать кривизну поверхности Земли. Действительно, давайте оценим время падения тела и расстояние, которое пройдёт за это время точка на поверхности Земли, и конечно само это тело:

Рис. 1

Как видим, это расстояние довольно большое, во всяком случае, оно превосходит расстояние до линии горизонта (попробуйте сами оценить это расстояние, зная размеры Земли и свой рост), а наличие горизонта как раз и указывает на кривизну земной поверхности. Вследствие кривизны земной поверхности направление силы тяжести зависит от местонахождения тела (см. Рис.2). Поэтому движение тела в горизонтальном направлении не будет равномерным, необходимо учесть проекцию силы тяжести на это направление:

.

Поскольку x<<R, то производная dV_x/dt<<g, что позволяет упростить это уравнение, считая в правой части x =Rt:

Интегрируя ещё раз, найдём перемещение тела:

Вычитая из найденного перемещения тела x перемещение земной поверхности Rt, найдём перемещение тела относительно поверхности Земли:

Теперь ответ совпал с предыдущим.