Задача 3

Из центра вращающейся карусели радиуса R, по мишени, установленной на краю карусели в точке А производится выстрел. Найти отклонение пули от мишени, если угловая скорость вращения карусели равна , скорость пули –V. При расчете принять R<< V.

Решение

Рис. 1

Рассмотрим движение пули относительно инерциальной системы отсчета, связанной с землей. Относительно земли пуля движется прямолинейно со скоростью V, поэтому она долетит от центра до края карусели за время t>R/V. Но за это же время карусель повернется на угол  = t =R/V, и попадёт не в точку А, а точку В, причем угол между радиусами ОА и ОВ равен, как видим, углу поворота карусели . Расстояние по краю карусели между точками А и В:

Рассмотрим теперь движение пули в системе отсчёта, связанной с каруселью. Эта система отсчета неинерциальная, поэтому на пулю в процессе ее движения действуют центробежная сила:

F_цб = m2r

и сила Кориолиса:

F­_кор = 2m[V',].

Поскольку, согласно условию, R<<V, то F_цб/F_кор ~ R/V<< 1, то влиянием центробежной силы, ввиду ее малости по сравнению с силой Кориолиса, мы полностью пренебрежём.

Сила Кориолиса направлена перпендикулярно скорости пули V', поэтому она будет вызывать отклонение пули вбок. Поскольку, согласно условию задачи выполняется сильное неравенство R<<V, которое означает, что карусель вращается сравнительно медленно. Поэтому сила Кориолиса оказывает слабое возмущающее воздействие на движение пули. Но это означает, что если представить скорость пули V' в виде:

V' = V + V₁,

где V – начальная скорость пули, а V₁ – поправка к скорости, вызванная силой Кориолиса, то V₁ << V. Поэтому в выражении для силы Кориолиса F_кор = 2т[V',], можно с хорошей точностью заменить V' на V. Такая замена, мало изменяя F_кор, упрощает задачу, поскольку сила Кориолиса оказывается теперь постоянной, соответственно оказывается постоянным и вызванное ею ускорение а_кор=2[V,].

Интегрируя по времени соотношение dV'/dt = a_кор, получим с учетом того, что в начальный момент V' = V:

V' = V + a_корt.

Полученное соотношение показывает, что в радиальном направлении (направлении выстрела) пуля движется с постоянной скоростью V, а в перпендикулярном направлении ее скорость линейно возрастает со временем. Интегрируя по времени соотношение dr'/dt=V' с учетом выражения для V' получим:

Рис. 2

Первое слагаемое в полученном выражении представляет собой перемещение пули в направлении выстрела, второе – в боковом направлении.

Пуля долетит до края карусели через время t = R/V. За это же время пуля отклонится вбок на расстояние

В нашем случае a_кор = 2V, поэтому:

что полностью совпадает с прежним результатом. Поделив S на R, получим угол, на который отклонится пуля от первоначального направления за время полета:

Согласно условию задачи

поэтому пуля отклоняется на малый угол. Это показывает, что использованное нами соображение о малости влияния силы Кориолиса подтверждается окончательным результатом.

Задача 4

С высокой башни, расположенной на экваторе, свободно падает тело. В каком направлении, и на какое расстояние отклонится тело от вертикали вследствие вращения Земли? Сделать численную оценку, приняв высоту башни равной 500 м.