Задача 4

Два одинаковых кубика массы m каждый, соединены невесомой пружинкой жесткости k. Кубики связаны нитью, в результате чего пружинка оказывается сжатой (рис.1). В некоторый момент нить пережигают. При каком начальном сжатии пружины нижний кубик подскочит после пережигания нити?

Решение

Рис. 1

Рассмотрим случай минимального начального сжатия пружины, когда нижний кубик отрывается от стола лишь в момент максимального растяжения пружины. Очевидно, что при этом скорость верхнего кубика будет равна нулю, иначе пружина продолжала бы растягиваться. Рассмотрим энергию верхнего кубика в двух состояниях: начальном – в момент пережигания нити и конечном – в момент максимального растяжения пружинки, когда нижний кубик перестает давить на опору.

В начальном состоянии механическая энергия кубика равна потенциальной энергии, так как кубик покоится:

E₁=U₁.

В конечном состоянии механическая энергия также равна потенциальной энергии, так как растянувшаяся пружинка останавливает верхний кубик:

E₂=U₂.

Найдём U₁ и U₂:

Здесь h₁ и h₂ – высоты, на которых находится верхний кубик в положениях 1 и 2 соответственно, l₁ – начальное сжатие пружинки, l₂ – максимальное растяжение пружинки. Для того, чтобы нижний кубик оторвался от опоры, необходимо, чтобы пружинка тянула его вверх с силой равной силе тяжести:

F_упр = mg.

Но, так как F_ynp = kl₂, то:

В данном случае энергия системы остается постоянной, так как все силы консервативны, поэтому:

Из рис. 1 нетрудно понять, что:

Второе уравнение запишем в виде:

или

Отсюда найдем два значения l₁:

Первое решение соответствует случаю сжатой пружинки, второе также имеет определенный физический смысл. Так как l₁ < 0, то это решение соответствует случаю первоначально растянутой на величину mg/k пружинки. Поскольку при таком растяжении пружинка оказывается растянутой с силой Fупр = kl₁ = mg, то, очевидно, нижний кубик под действием этой силы оторвется от опоры.

Задача 5

Игрушечный автомобильчик с пружинным заводом разгоняется до скорости v₀, и соответственно приобретает кинетическую энергию Т₀, при этом пружина, раскручиваясь, теряет часть своей потенциальной энергии U₀. Если пренебречь различными потерями в пружинном моторе, то, очевидно, Т₀ = U₀. Рассмотрим теперь наблюдателя, который движется навстречу автомобильчику со скоростью ₀. Найдите изменение кинетической энергии автомобильчика с точки зрения этого наблюдателя и объясните результат.

Решение

С точки зрения движущегося наблюдателя начальная скорость автомобильчика равна ₀, а конечная 2₀. Таким образом, изменение кинетической энергии автомобильчика равно:

Как же быть с законом сохранения энергии, почему он не работает? Работа пружины определяется только её деформацией, которая, очевидно, никак не зависит от выбора системы отсчёта. Казалось бы, ответ не должен тогда зависеть от выбора системы отсчёта. В чём же тут дело? Самый простой ответ состоит в том, что автомобильчик движется под действием внешних сил. А именно, под действием сил трения между ведущими колёсами и поверхностью, по которой движется автомобильчик. Именно эта сила изменяет импульс автомобильчика, она же изменяет и его кинетическую энергию. Если предположить для простоты вычислений, что сила эта остаётся постоянной, пока пружина раскручивается¹, то и ускорение автомобильчика будет оставаться постоянным. Тогда оказывается, что перемещение автомобильчика будет разным в двух разных системах отсчёта:

Поскольку работа силы пропорциональна перемещению тела, то во втором случае эта работа втрое больше, чем в первом:

А₂ = 3 А₁.

Поэтому и изменение кинетической энергии оказывается втрое больше.

А при чём тут тогда пружина, если всё определяет работа силы трения? Очевидно, благодаря пружине колёса начинают вращаться, что и приводит к возникновению силы трения, толкающей автомобиль. На гладкой поверхности без этой силы автомобиль не сдвинется с места.

А как же быть тогда с законом сохранения энергии Т₀ = U₀? Он, что, несправедлив? Вообще говоря, нет. При наличии неконсервативных сил энергия не обязана сохраняться:

.

Здесь именно этот случай.

Более подробно мы разберёмся с движением автомобиля в разделе, посвящённом движению твёрдого тела.