Приклад виконання завдання к1

Рух точки М задано рівняннями х=8cos3t, y=4sin3t (x, y – см). Знайти траєкторію і величину та напрям швидкості, дотичного, нормального і повного прискорень точки та радіус кривини траєкторії точки в момент часу t₁ =0.

Розв’язання. Точка М рухається в одній площині тому що її рух визначають два рівняння. Кінематичні характеристики руху точки почнемо визначати з її траєкторії.

1 . Щоб знайти рівняння траєкторії точки у координатній формі треба з заданих рівнянь руху точки виключити параметр (час t). Для цього спочатку запишемо задані рівняння руху точки у вигляді ; Піднесемо ці рівності до квадрата кожне окремо ; , а потім складемо. При цьому одержимо . Але і маємо рівняння траєкторії у вигляді . Отже траєкторією точки М є еліпс (рис. 1.1).

Рис. 2.1

2. Швидкість точки, як і будь-який вектор, визначають аналітично за модулем і напрямом. Спочатку знаходять її проекції на координатні осі ОХ та ОУ, які дорівнюють першим похідним за часом від відповідних рівнянь руху точки:

.

Потім знаходять модуль вектора швидкості точки і його напрямні косинуси: ; При t₁ =0 маємо модуль вектора швидкості і його напрямні косинуси у вигляді .

3. Вектор прискорення точки знаходять аналогічно вектору швидкості, враховуючи що

Маємо де

.

Отже, модуль вектора прискорення при t₁ =0

і напрямні косинуси

4. Дотичне та нормальне прискорення знайдемо за формулами

.

При t₁ =0, тобто у задану мить часу, маємо

.

5. Радіус кривини траєкторії  у точці М визначимо за формулою

При t₁ =0 маємо

Відповідь: - траєкторія еліпс;

Таблиця 4

№ варіанта	Рівняння руху х;у, см	№ варіанта	, с
0		0	0,3
1		1	0,4
2		2	0,7
3		3	0,2
4		4	1,0
5		5	0,5
6		5	0,6
7		7	0,8
8		8	0,3
9		9	0,6

Задача К2. НАЙПРОСТІШИ ВИДИ РУХІВ ТВЕРДОГО ТІЛА ТА ЇХ ПЕРЕТВОРЕННЯ.

Визначення швидкостей і прискорень точок твердого тіла при поступальному і обертальному рухах.

За даними рівняннями прямолінійного поступального руху тягара 1 визначити і показати на малюнку швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення точки М механізму, якщо тягар пройшов шлях S.

Схеми механізмів показані на рисунку 4, а необхідні дані наведені в таблиці 5 завдань К.

Необхідно знати:

1.Основну теорему поступального руху тіла.

2. Формули, що за заданим законом S=S(t) поступального прямолінійного руху тіла визначають його швидкість і прискорення.

3. Формули, що за заданим законом обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі j=j(t) визначають його кутову швидкість і кутове прискорення.

4. Формули, за якими визначається швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

5. Якщо обертання від одного тіла до другого передасться безпосереднім дотиком або за допомогою пасу, тоді кути обертання цих тіл (коліс), їх кутові швидкості і кутові прискорення обернено пропорційні їх радіусам (числам зубців Z):

.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати прості рухи твердого тіла.

2. Диференціювати різні функції.

3. Геометрично складати вектори.