Приклад виконання завдання

Задача. Механічна система, яка показана на рис.3.4, знаходиться в рівновазі під дією сил ваги тіл які її складають. Знайти кут  при якому має місце стан рівноваги системи, якщо

Дано: ; ; ; .

Рис. 3.4

Розв’язання. Розглядається рівновага механічної системи твердих тіл (рис.3.4). Прикладемо до тіл системи всі зовнішні активні сили і реакції в`язей і покажемо їх на рис.3.4. Силу тертя віднесемо до відомих сил. Система має один степень вільності. Надаємо їй можливе переміщення і покажемо на рис.3.4 переміщення точок прикладання зовнішніх сил і . Згідно принципу можливих переміщень запишемо рівняння робіт прикладених до системи сил: Робота сил і дорівнює нулю, тому що сили перпендикулярні до переміщенням точок прикладання; роботи сил і дорівнють нулю, тому що точки їх прикладання нерухомі; робота сил і дорівнює:

Виключимо з цього рівняння невідомі елементарні переміщення. Для цього виразимо всі інші переміщення через одне з них, прийнявши його за незалежне, що можливо тому що система має один ступінь вільності. З кінематики відомо що відношення елементарних переміщень пропорційні відношенню швидкостей точок системи. Крім того і тому з одного боку а з другого звідки Отже маємо, що Але і тому

Підставимо це значення в рівняння робіт і одержимо:

або, після скорочення на

Знайдемо силу тертя . Після чого, враховуючи що P=mg, одержимо рівняння:

Вважаючи, що і sin =cos , маємо з попереднього рівняння

Відповідь: .

Задача ДС3. Скласти диференціальне рівняння руху тіла А даної механічної системи за допомогою загального рівняння динаміки.

Умови завдання однакові для всіх задач ДС.

Необхідно знати:

1. Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера - Лагранжа).

2. Визначення поняття - можливе переміщення системи.

3. Формули, за якими визначаються головний вектор і головний момент сил інерції твердого тіла в залежності від його руху.

4. Формули, за якими знаходиться робота сили.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати рухи тіла.

2. Проводити кінематичний розрахунок механічної системи твердих тіл.

Приклад виконання завдання

Задача. Механічна система, яка складається з трьох тіл A, B, D (рис.3.5) начинає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Визначити диференційне рівняння поступального руху тіла A, нехтуючи масами шнурів та тертям на осі О.

Дано: ; ; ; ; ; ; =30, =60.

Рис 3.5

Розв`язання: Система складається з трьох твердих тіл A, B, D, рух яких необхідно розглянути. Вона має один степень вільності і отже її положення цілком визначається одним параметром, наприклад, поступальним переміщенням тіла А. При цьому можна скласти одне загальне рівняння динаміки. Розглядаючи рух цієї системи (рис.3.5) нехтуватимемо, згідно з умовами задачі, силами тертя при обертанні блока В навколо осі О і при качанні диска D, вважати в`язі ідеальними.

Силу тертя ковзання тіла А будемо вважати відомою, тому що коефіцієнт тертя ковзання відомий і тому за формулою де - нормальна складова реакції тіла А.

Будемо вважати що механічна система рухається зліва направо. Покажемо її у довільному проміжному стані, як це зроблено на рис.3.5. Прикладемо до тіл систем активних сил, включаючи до них силу тертя тіла А. Враховуючи вид руху тіл системи направлення прискорень їх центрів мас, прикладемо до кожного з тіл відповідні головні вектори і моменти їх сил інерції , модулі яких визначимо аналітично.

Тіло А рухається поступально. Тому сили інерції його точок зводяться до головного вектора, модуль якого

(a)

Тіло В обертається навколо нерухомої осі. Тому сили інерції його точок зводяться до головного моменту, модуль якого

де (б)

;

тому що швидкість точки L дорівнює швидкості тіла А, тобто і тому Отже,

Суцільний диск D робить плоский (плоскопаралельний) рух і тому сили інерції його точок зводяться до головного вектора і головного моменту :

Враховуючи що швидкість точки С, центра мас тіла D, дорівнює швидкості точки К тіла В, тобто будемо мати:

;

Надамо механічній системі можливе переміщення і визначимо суму робіт всіх сил на цьому переміщенні:

.

(в)

Складемо залежності між можливими переміщеннями. Для цього виразимо їх через переміщення тіла А - враховуючи що залежність між елементарними переміщеннями точок системи така сама як і між їх швидкостями,

Підставимо одержані значення в (в) і скоротимо на Остаточно матимемо:

=0,005.

Таким чином, одержано диференціальне рівняння прямолінійного поступального руху тіла А

Відповідь: диференціальне рівняння поступального руху тіла А :

Таблиця 9

№ схеми, варіанта	mA	mB	mД			mБ	RB		RД	ІВХ	ІДХ						S	
	Кілограми						Метри						градуси				м
0 1 2	M M m	2m M 1,5m		0,15m 0,25m 0,75m	4m 6m 8m		0,5 0,4 0,5	0,3 0,2 0,2		0,18 0,15 0,17		0,10 0,12 0,16	30 60 60	60 30 30		4,0 3,0 2б0		0,20 0,30 0,10
3 4 5	M M m	0,5m M 2m		0,10m 0,25m 0,20m	10m 5m 4m		0,4 0,6 0,5	0,4 0,3 0,5		0,16 0,14 0,15		0,15 0,10 0,13	45 60 30	45 30 60		2,5 3,0 4,0		- 0,30 0,20
6 7 8	M M m	0,5m 1,5m 0,75m		0,30m 0,40m 0,10m	Зm 6m 7m		0,6 0,3 0,4	0,3 0,4 0,3		0,20 0,18 0,16		0,14 0,15 0,12	45 30 60	45 60 30		2,5 4,5 2,0		0,15 0,12 0,14
9	m	2,5m		0,20m	8m		0,6	0,4		0,12		0,15	45	45		2,5		0,25

Рисунок 6